Ряды Фурье Интеграл Фурье Операционное исчисление (стр. 15 из 19)

. (18.12)

При нулевых начальных условиях

. (18.13)

Соотношение (18.13) представляет собой матричный аналог интеграла Дюамеля.

Пример 5. Найти решение задачи Коши

с начальными условиями

.

Решение. Запишем систему и начальные условия в матричной форме:

,

где

. Тогда

;

.

Окончательно, по формуле (18.12) получим

или

Замечание. Формулы (18.12) и (18.13) имеют большое теоретическое значение, поскольку позволяют исследовать поведение решения системы дифференциальных уравнений в зависимости от начальных данных и правых частей. Однако для практического применения эти формулы мало пригодны, так как зачастую требуют проведения громоздких выкладок, связанных с вычислением обратных матриц, матричных сверток и т.п. Поэтому на практике обычно применяют операторный метод, не переходя к матричной записи системы уравнений, а при решении операторной системы используют конкретные особенности исследуемой задачи.

Пример 6. Решить задачу Коши:

с начальными условиями

.

Решение. Перейдем в данной системе к изображениям. С учетом начальных условий будем иметь

Запишем решение операторной системы

.

Тогда

.

§ 19. Приложения

Электрические цепи. Основными элементами электрических цепей являются сопротивления, индуктивности и емкости (конденсаторы). Каждый из этих элементов называются двухполюсником, поскольку он обладает двумя контактами (полюсами), которые соединяются с полюсами других элементов цепи. Электрическое состояние двухполюсника в каждый момент времени

определяется двумя величинами: силой тока (током) , проходящего через двухполюсник, и падением напряжения (напряжением) на его полюсах. Для каждого двухполюсника функции и связаны некоторым соотношением, представляющим собой физический закон, управляющий работой двухполюсника.

Для сопротивления имеет место закон Ома

,

где

– сопротивление двухполюсника.

Для индуктивности справедливо соотношение

,

где

– индуктивность двухполюсника.

Для конденсатора выполняется соотношение

,

где С – емкость конденсатора;

– начальный заряд на его обкладках.

В дальнейшем будем считать, что в начальный момент времени

цепь была свободна от токов и зарядов, что соответствует задачам включения.

Если ввести операторный ток

и операторное напряжение как изображения функций и соответственно, то вышеприведенные уравнения, управляющие работой двухполюсников, перейдут в следующие:

.

Последние соотношения могут быть записаны в виде операторного закона Ома

,

где операторное сопротивление (импеданс)

в случае активного сопротивления, индуктивности и емкости принято в виде соответственно . Величину, обратную , называют операторной проводимостью (адмитансом) двухполюсника.

При последовательном соединении двух двухполюсников с операторными сопротивлениями

и имеем ; и , откуда , и следовательно, импеданс цепи . Аналогично, при параллельном соединении двух элементов с адмитансами и получим , , , откуда , и следовательно, адмитанс цепи .

Таким образом, в задачах включения операторные сопротивления и проводимости цепей рассчитываются по обычным правилам соединения активных сопротивлений. Например, если цепь состоит из последовательно соединенных сопротивления

, индуктивности и емкости , шунтированной сопротивлением , то ее импеданс .

Если электрическая цепь с адмитансом

включена на эдс , то операторный ток в ней определяется соотношением , .

Как правило, операторная проводимость цепи

представляет собой рациональную дробь, полюсы (корни знаменателя) которой расположены в левой полуплоскости , что, как следует из теоремы Хевисайда, гарантирует устойчивость системы, т.е. исключает возможность возникновения в такой системе незатухающих свободных колебаний.

Если эдс

является ограниченной функцией времени, то полюсы функции имеют неотрицательные вещественные части, и следовательно (см. замечание 2 к теореме Хевисайда), по истечении достаточно длительного промежутка времени в системе устанавливается стационарный режим, при котором ток