Ряды Фурье Интеграл Фурье Операционное исчисление (стр. 3 из 19)

Указание. Воспользоваться свойствами скалярного произведения функций.

§ 4. Сходимость в среднем. Равенства Парсеваля

Из формулы (3.3) с учетом того, что величина

по определению не отрицательна, следует

. (4.1)

Левая часть неравенства (4.1) представляет собой частичную сумму положительного числового ряда

. (4.2)

Положительный ряд с ограниченными в совокупности частичными суммами сходится, следовательно, сходится и ряд (4.2). Переходя в (4.1) к пределу при

, получим неравенство Бесселя

. (4.3)

Возвращаясь к формуле (3.3), заметим, что с увеличением п величина

уменьшается, оставаясь неотрицательной. Следовательно, монотонно убывающая неотрицательная последовательность сходится. из (3.3) получим ее предел

. (4.4)

Если

, где – частичная сумма ряда Фурье (3.2), то говорят, что ряд (3.2) сходится в среднем к функции . В этом случае из (4.4) следует

(4.5)

Соотношение (4.5) называется равенством Парсеваля. Это аналог формулы (1.4) для квадрата модуля вектора.

Замечание. Из сходимости ряда в среднем, вообще говоря, не следует его сходимость в обычном смысле слова.

Если равенство Парсеваля выполняется для всех функций из множества

, или, что то же самое, для любой функции из ряд Фурье сходится в среднем к этой функции, то ортогональная система называется замкнутой, а соотношение (4.5) – уравнением замкнутости. Замкнутыми системами, например, являются системы функций из упражнения в § 3. Доказательство этого факта выходит за рамки настоящего пособия.

Свойства замкнутых систем следующие:

1. Если непрерывная функция

ортогональна всем функциям замкнутой системы, то она тождественно равна нулю. Действительно, в этом случае все коэффициенты Фурье равны нулю. Из (4.5) следует, что , и тогда (см. § 2, свойство нормы 2)

Таким образом, к замкнутой системе функций

нельзя присоединить никакой новой функции, отличной от тождественного нуля, которая была бы ортогональна ко всем . Это свойство замкнутой системы функций называют ее полнотой.

Следствие. Если две непрерывные функции

и имеют одни и те же коэффициенты Фурье, то они тождественно совпадают. Доказательство этого утверждения следует найти самостоятельно.

2. Пусть

и – коэффициенты Фурье функций и относительно замкнутой ортогональной системы . Тогда

(4.6)

где, как и ранее,

Соотношение (4.6) называется обобщенным равенством Парсеваля. Это аналог формулы (1.3) для скалярного произведения векторов.

Так как для функций

коэффициенты Фурье, очевидно, равны , в силу замкнутости системы из (4.5) следует

Вычитая почленно эти равенства и используя тождества

получим равенство (4.6).

3. Если

– замкнутая ортогональная система функций, то

, (4.7)

т.е. интеграл от функции

можно получить почленным интегрированием ее ряда Фурье. Для доказательства достаточно применить формулу (4.6) к функциям и

и учесть, что в этом случае

. Тогда

Отметим, что справедливость формулы (4.7) установлена даже без предположения о сходимости ряда Фурье.

Упражнение. Доказать, что если ряд Фурье сходится равномерно на промежутке [а, b] к функции

, то он сходится в среднем к этой функции.

§ 5. Тригонометрический ряд Фурье на промежутке [–L, L]

Система функций

(5.1)

ортогональна на промежутке [–L, L] (см. упражнение в § 3).

Показать, что

следует самостоятельно.

Каждой функции

, кусочно-непрерывной на промежутке [–L, L], сопоставим ее ряд Фурье:

. (5.2)

Коэффициенты Фурье

, в соответствии с (3.1), определятся формулами

(5.3)

Ряд (5.2) называется тригонометрическим рядом Фурье.

Как отмечалось в § 4, система функций (5.1) является замкнутой. Поэтому для любой кусочно-непрерывной функции

ее ряд Фурье (5.2) сходится в среднем к этой функции. Равенство Парсеваля (4.5) в принятых теперь обозначениях примет вид

. (5.4)

Левая часть последнего равенства, как легко видеть, представляет собой удвоенное среднее значение квадрата функции

на промежутке [–L, L].

Частичные суммы

тригонометрического ряда (5.2) называются тригонометрическими полиномами Фурье. Из формулы (3.3) следует, что средняя квадратическая погрешность, возникающая при замене функции

ее тригонометрическим полиномом Фурье,

. (5.5)

§ 6. Сходимость тригонометрического ряда Фурье. Теорема Дирихле

Функция

называется кусочно-монотонной на промежутке , если этот промежуток можно разделить на конечное число частей, на каждой из которых функция монотонна.

Если функция кусочно-непрерывна и кусочно-монотонна на промежутке

, то говорят, что на этом промежутке она удовлетворяет условиям Дирихле. Для таких функций справедлива принимаемая нами без доказательства следующая теорема.