Ряды Фурье Интеграл Фурье Операционное исчисление (стр. 4 из 19)

Теорема Дирихле. Если функция

удовлетворяет условиям Дирихле на промежутке [–L, L], то ее ряд Фурье (5.2) сходится во всех точках этого промежутка. При этом во внутренних точках промежутка сумма ряда Фурье , если в точке х функция непрерывна; в точках разрыва ; на концах промежутка , где – односторонние пределы в точке а.

Если доопределить (или переопределить) функцию

, полагая в точках разрыва и f (–L) = = на концах промежутка, то в соответствии с теоремой Дирихле

, (6.1)

где коэффициенты

по-прежнему определяются формулами (5.3).

Соотношение (6.1) обычно называется разложением функции

в тригонометрический ряд Фурье. Члены ряда (6.1)

(6.2)

называются гармониками. Введем в рассмотрение величины

и , связанные с коэффициентами Фурье и соотношениями и . Тогда гармоника (6.2) запишется в виде , где – амплитуда гармоники; – ее частота; – начальная фаза. Множество частот образует дискретный частотный спектр функции на промежутке [–L, L]. Формула (6.1) примет вид

, (6.3)

т.е. функция, удовлетворяющая условиям Дирихле, представляет собой результат сложения бесконечного числа гармоник. При этом амплитуды и начальные фазы слагаемых гармоник зависят от разлагаемой функции, а частотный спектр одинаков для всех функций, заданных на одном и том же промежутке.

Из равенства Парсеваля (5.4) следует

, (6.4)

где

.

Таким образом, сумма квадратов амплитуд гармоник равна удвоенному среднему значению квадрата функции

на промежутке [–L, L]. Соотношение (6.4) часто называют энергетическим равенством.

В силу периодичности гармоник из сходимости ряда (6.3) на промежутке [–L, L] следует его сходимость всюду, т.е. на всей числовой оси. Суммой этого ряда, очевидно, будет 2L-периодическая функция

, которая на промежутке [–L, L] совпадает с заданной функцией . Функция , определенная указанным образом, называется периодическим продолжением .

Теорема Дирихле (другая формулировка). Если функция

удовлетворяет условиям Дирихле на промежутке [–L, L], то тригонометрический ряд Фурье (6.1) сходится всюду к ее периодическому продолжению.

Замечание. Если функция

, заданная для всех , является 2L-периодической, то ее периодическое продолжение совпадает с самой функцией, и, следовательно, ряд Фурье (6.1) представляет функцию на всей числовой оси. В этом случае можно

получить другие, иногда более удобные по сравнению с (5.3), формулы для коэффициентов Фурье:

, (6.5)

где с – любое число.

Вместо того, чтобы устанавливать справедливость формул (6.5), докажем более общее утверждение: если функция

имеет период Т, то интеграл не зависит от а. Действительно,

Выполнив в среднем интеграле замену переменной

и воспользовавшись периодичностью подынтегральной функции, получим

Последний интеграл не зависит от а, что, собственно, и требовалось доказать.

Таким образом, интегралы в (6.5) не зависят от с. Полагая в этих формулах

, убеждаемся в тождественности выражений (5.3) и (6.5).

Если функция

не является периодической, то в формулах (6.5) в подынтегральные выражения вместо функции должно входить ее периодическое продолжение .

Упражнение. Доказать, что гармоники (6.2) являются периодическими функциями с периодом 2L, т.е.

.

§ 7. Разложение в тригонометрические ряды четных и нечетных функций

Функция

, область определения которой симметрична относительно начала координат, называется четной (нечетной), если . Тогда или [ ]. Так, например, функции и нечетны, а и четны. Легко видеть, что произведение двух четных или двух нечетных функций – четная функция, а произведение четной и нечетной функций – нечетная функция.

Предлагаем доказать самостоятельно следующие свойства определенного интеграла:

а) если функция

четна, то

; (7.1)

б) если функция

нечетна, то

. (7.2)

Указание. Представить интеграл

в виде суммы интегралов: и в первом из них выполнить замену .

Пусть четная функция

удовлетворяет условиям Дирихле на промежутке [–L, L]. Произведение будет нечетной функцией, и, поэтому, в силу (7.2)