Ряды Фурье Интеграл Фурье Операционное исчисление (стр. 5 из 19)

.

Таким образом, ряд Фурье четной функции содержит только косинусы:

. (7.3)

Так как

– четная функция, то вследствие (7.1)

. (7.4)

Подобным же образом получим, что ряд Фурье нечетной функции содержит только синусы:

(7.5)

где

. (7.6)

§ 8. Ряд Фурье для функции, заданной на промежутке [0, L]

Пусть функция

удовлетворяет на промежутке [0, L] условиям Дирихле. Построим четное продолжение данной функции на промежуток [–L, 0], полагая для . Полученную четную функцию разложим в тригонометрический ряд Фурье (7.3), содержащий только косинусы:

. (8.1)

Коэффициенты разложения можно вычислять по формулам (7.4), в которые входят только значения первоначально заданной функции:

. (8.2)

Аналогично, если функцию

продолжить на промежуток [–L, 0] нечетным образом, полагая для , и разложить полученную функцию в ряд Фурье на промежутке [–L, L], то в этом разложении будут содержаться только синусы:

(8.3)

где

. (8.4)

На промежутке [0, L] ряды (8.1) и (8.3) представляют одну и ту же функцию

, но вне этого промежутка эти ряды ведут себя по-разному. Так на промежутке [–L, 0] ряд (8.1) сходится к четному, а ряд (8.3) к нечетному продолжению функции .

Функции

; (8.5)

, (8.6)

участвующие в разложениях (8.1) и (8.3), образуют ортогональные системы на промежутке [0, L]. Кроме того, как нетрудно проверить,

. Поэтому величины и , определяемые формулами (8.2) и (8.4), представляют собой коэффициенты Фурье функции относительно ортогональных систем (8.5) и (8.6) соответственно, и, следовательно, ряды (8.1) и (8.3) являются рядами Фурье на промежутке [0, L] для этой функции.

Замечание. Если функцию

, заданную на [0, L], продолжить произвольным образом на промежуток [0, L], например, просто положив для , то ее разложение в тригонометрический ряд будет содержать и синусы, и косинусы:

. (8.7)

На промежутке [0, L] этот ряд будет представлять заданную функцию, но, в отличие от рядов (8.1) и (8.3), ряд (8.7), вообще говоря, не является рядом Фурье для функции

на указанном промежутке, так как система функций

,

участвующая в разложении (8.7), не ортогональна на [0, L] (см § 2, упражнение 2, д).

§ 9. Ряды Фурье для комплексных функций

Рассмотрим элементы теории рядов Фурье для комплексных функций, т.е. функций вида

, где i – мнимая единица, – вещественные функции вещественного аргумента. Обозначим символом множество комплексных кусочно-непрерывных функций, определенных на промежутке .

Скалярным произведением функций

назовем комплексное число

,

где

– функция, комплексно сопряженная с функцией .свойства скалярного произведения комплексных функций следующие:

1.

2. билинейность

, .

Доказать свойства 1 и 2 предлагаем самостоятельно.

Как и ранее, функции f и g будем называть ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.

Определение нормы функции оставим прежним, так что

.

Свойства нормы, претерпевшие изменения при переходе от вещественных функций к комплексным, следующие:

1. теорема косинусов.

или в более общем виде

. (9.1)

2. Обобщенная теорема Пифагора. Если

, то

.

Доказать свойства 1 и 2 следует самостоятельно.

3. Неравенство Коши – Буняковского. Если функции

и непрерывны, то .

В самом деле, если

, то на , и доказываемое неравенство выполняется. Пусть . Число очевидно, не отрицательно. С другой стороны, по формуле (9.1), где и , имеем

.

Таким образом,

, а так как , то , что и требовалось доказать.

Пусть теперь система комплексных функций

(9.2)

ортогональна на промежутке

. Сопоставим функции ее ряд Фурье

(9.3)

где коэффициенты Фурье

.

Введем обозначения:

– частичная сумма ряда Фурье; – произвольная линейная комбинация функций где .

Тогда, так же, как для вещественных функций (см. § 3), выполняется неравенство

(9.4)

где

, причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда , т.е. среди всех функций функция дает наилучшее среднеквадратическое приближение к функции .