Ряды Фурье Интеграл Фурье Операционное исчисление (стр. 6 из 19)

Сходимость ряда в среднем и замкнутость системы функций определяются точно так же, как в § 3:

а) если для некоторой функции

выполняется равенство Парсеваля

, (9.5)

то ряд (9.3) сходится в среднем к

, т.е. ;

б) ортогональная система функций (9.2) называется замкнутой на промежутке

, если равенство Парсеваля выполняется для каждой функции из .

Введем в рассмотрение систему комплексных функций

. (9.6)

Свойства системы функции (9.6) следующие:

1.

.

2. Функции

являются 2L-периодичными: .

3. Система функций (9.6) ортогональна на промежутке [–L, L]. Действительно, при

.

Здесь использована формула

.

4.

.

Ряд Фурье для функции

по системе функций (9.6) имеет вид

, (9.7)

где коэффициенты Фурье

. (9.8)

Система функций (9.6) замкнута на [–L, L] (принимаем без доказательства), поэтому для нее справедливы следующие утверждения:

а) ряд (9.7) сходится в среднем к

,

б) для любой функции из

выполняется равенство Парсеваля ,

в) среднеквадратическая погрешность, возникающая при замене функции

частичной суммой ее ряда Фурье,

.

Теорема Дирихле. Если вещественная и мнимая части функции

удовлетворяют на промежутке [–L, L] условиям Дирихле, то функция является суммой своего ряда Фурье:

. (9.9)

При этом предполагается, что действуют прежние соглашения относительно значений функции в точках разрыва и на концах промежутка (см. § 3).

Упражнение 1. Доказать справедливость формулы (9.4). Доказать, что из (9.4) следует неравенство Бесселя

.

Упражнение 2. Доказать справедливость утверждений 1, 2 и 4.

§ 10. Комплексная форма тригонометрического ряда Фурье

Пусть вещественная функция

удовлетворяет условиям Дирихле на промежутке [–L, L]. Запишем ее разложение в тригонометрический ряд Фурье:

, (10.1)

где

. (10.2)

Если в (10.1) выразить

и через показательную функцию от мнимого аргумента:

то получим ряд

, (10.3)

где в силу (10.2)

;

;

=

Последние три формулы можно объединить:

. (10.4)

Ряд (10.3) с коэффициентами (10.4) называется тригонометрическим рядом Фурье в комплексной форме.

Пример 1. Разложить функцию

, где – комплексное число, в ряд Фурье на промежутке .

Решение. Найдем коэффициенты Фурье:

.

Поскольку

, то

,

=

.

Искомое разложение будет иметь вид

, (10.5)

где учтено, что

.

Применяя к ряду (10.5) равенство Парсеваля

, (10.6)

можно найти сумму еще одного числового ряда. Действительно, в нашем случае

;

.

Тогда из (10.6) следует

.

Упражнение 1. Доказать, что

; .

Указание. Положить в (10.5) х = 0 и х = p.

Упражнение 2. Доказать, что при

; .

Глава 2. Интеграл Фурье

§ 11. Сходимость интеграла Фурье

Пусть функция

определена на всей числовой оси. Считая, что на произвольном конечном промежутке [–L, L] заданная функция удовлетворяет условиям Дирихле, представим ее тригонометрическим рядом Фурье в комплексной форме:

, (11.1)

где

; (11.2)

– частота k-й гармоники; .

Введя в (11.1) выражения (11.2), получим

. (11.3)

При

величина . Правая часть формулы (11.3) аналогична интегральной сумме для функции по переменной w в промежутке . Поэтому можно ожидать, что после перехода в (11.3) к пределу при вместо ряда получим интеграл