Теоремы сложения и умножения вероятностей, вероятность появления хотябы одного события (стр. 1 из 4)
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………………………3
1. Определение вероятности…………………………………………………….4
1.1 Классическое определение………………………………………………….5
1.2 Геометрическое определение……………………………………………….7
2. Теорема сложения вероятностей…………………………………………….9
3. Теорема умножения вероятностей………………………………………….12
4. Случайные события………………………………………………………….15
4.1 Случайные события и величины, их основные характеристики ……….15
4. Взаимодействие случайных событий ……………………………………….17
4.3 Схемы случайных событий и законы распределения случайных величин……………………………………………………………………………….23
ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………………………………….27
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ…………………………….28
ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время трудно представить исследование и прогнозирование экономических процессов без использования методов, опирающихся на теорию вероятностей. При принятии решений в области бизнеса, финансов, менеджмента основой корректности и, в конечном счете, успеха является правильный учет и анализ больших объемов статистической информации, а также грамотная оценка вероятностей происхождения тех или иных событий. Теоретической основой существующих специальных приемов и методов решения задач экономики являются теория вероятностей и математическая статистика.
Сочетание слов «теория вероятностей» для неискушенного человека производит несколько странное впечатление. В самом деле, слово «теория» связывается с наукой, а наука изучает закономерные явления; слово «вероятность» в обычном языке связывается с чем-то неопределенным, случайным, незакономерным. Поэтому люди, знающие о существовании теории вероятностей только понаслышке, говорят о ней часто иронически. Однако теория вероятностей – это большой, интенсивно развивающийся раздел математики, изучающий случайные явления.
В данной работе мы обратим внимание прежде всего на подходы к определению категории «вероятность». Второй интересующий нас момент – теоремы сложения и умножения вероятностей.
Рассматривая различные случайные события при выполнении одних и тех же условий G, нетрудно убедиться в том, что каждое из них обладает какой-то степенью возможности: одни большей, другие – меньшей. Так, например, события A= {появление дамы пик} и C = {появление карты бубновой масти} различаются возможностью происхождения в одних и тех же условиях. А события A = {появление герба} и B = {появление цифры} одинаково возможны при одном подбрасывании «правильной» монеты, т. е. монеты правильной формы и сделанной из однородного материала.
Для того чтобы количественно сравнивать между собой события по степени их возможности, очевидно необходимо с каждым событием связать определенное число, которое тем больше, чем более возможно событие. Такое число назовем вероятностью события. Таким образом, вероятность события есть численная мера степени объективной возможности происхождения этого события в некоторых условиях. Будем говорить, что при выполнении комплекса условий G событие А происходит с вероятностью P(A).
Сравнивая между собой различные события по степени их возможности, мы должны установить какую-либо единицу измерения. В качестве такой единицы измерения естественно принять вероятность достоверного события, т. е. такого, которое в результате опыта непременно должно произойти. Если приписать достоверному событию вероятность, равную единице, то все другие события – возможные, но не достоверные – будут характеризоваться вероятностями, меньшими единицы, составляющими какую-то долю единицы.
Противоположностью по отношению к достоверному событию является невозможное событие, т. е. такое, которое в данном опыте не может произойти.
Естественно приписать невозможному событию вероятность, равную нулю. Таким образом,
P(Ø)= 0, 0 < P(A) <1.Для определения вероятности события существуют различные подходы.
Классическое определение вероятности сводит понятие вероятности к понятию равновероятности или равновозможности событий, которое считается основным и не подлежит формальному определению. Под равновозможными понимаются события, которые в силу тех или других причин (например, симметрии) не имеют объективного преимущества одно перед другим.
Если событие А подразделяется на m частных случаев, входящих в полную группу, состоящую из n равновозможных, попарно несовместных событий, то вероятность события А определяется как
(1.1)Справедливость классического определения вероятности, т. е. справедливость формулы (1.1) можно обосновать следующим образом. Если под вероятностью события А понимать число
где p(ω) – вероятности элементарных событий, определенные таким образом, что
то для пространства элементарных событий Ω , состоящего из n равновозможных исходов,
для всех 
. Тогда вероятность события А = { 
}, состоящего из m элементов, будет равна отношению числа элементарных событий 
, входящих в А, к общему числу элементарных событий в Ω: 
Здесь число элементов любого конечного множества M будем обозначать
.По-иному можно сказать, что вероятность события А, определяемая по формуле (1.1), равна отношению числа возможных исходов испытания, благоприятных наступлению события А, к числу всех возможных исходов испытания при условии, что все эти исходы равновозможны или равновероятны.
Приведем примеры классического определения вероятностей.
Пример 1. Правильная монета подбрасывается один раз. Найти вероятности событий: А = {появление герба}, В = {появление цифры}.
Решение. В этом простейшем примере Ω = {ω1 ,ω2} , А={ω1} ; В={ω2} , где ω1 = {г}; ω2 = {ц}. Тогда по формуле (1.1)
.Пример 2. Стандартная игральная кость брошена один раз. Каковы вероятности событий: А = {выпадения четного числа очков}, В = {выпадения числа очков, кратного трем}, С = {выпадение дробного числа очков}, D = {выпадение любого числа очков}.
Решение. Пространство элементарных событий Ω = {ω1 ,ω2 ,...,ω6} , где ωi = {выпадение i очков, i = 1, 2,…,6},
= n = 6. Здесь А = {ω2 ,ω4 ,ω6}, 
= 3; В = {ω3 ,ω6} , 
= 2; С = Ø , 
= 0 ; D = {ω1 ,ω2 ,...,ω6}, 
= 6 .По классическому определению (1.1) получаем:
Классическое определение вероятности нельзя применить к опыту с бесконечным числом «равновероятных» исходов. В этом случае целесообразно переходить на геометрический язык и пользоваться геометрическим подходом к определению вероятности или геометрическими вероятностями.
1.2 Геометрическое определение
Геометрическое определение вероятности может быть использовано в том случае, когда вероятность попадания случайной точки в любую часть области пропорциональна мере этой области (длине, площади, объему и т. д.) и не зависит от ее расположения и формы.
Если пространство Ω непрерывное и состоит из равновозможных элементарных исходов, то для любого события
(1.2)где под mes (от английского measure), обозначена любая геометрическая мера этого пространства (длина, площадь, объем и т. д.).
Геометрическая вероятность (1.2), так же как и классическая (1.1), равна отношению геометрической меры области, благоприятной наступлению события А, к мере всей области Ω.
Пример 3. В точке С, положение которой на телефонной линии связи KL длины z равновозможно, произошел разрыв. Определить вероятность того, что точка С удалена от точки К на расстояние, не меньшее l (событие А).
Решение. Представим линию связи в виде отрезка KL, длина которого равна z. Тогда
= l, 
= z − l. 
Обрыв равновозможен на любой единице длины отрезка CL. Тогда по геометрическому определению искомая вероятность определится как отношение длин области, благоприятной наступлению события, к длине всей области, т.е. отрезка KL.