Центральная предельная теорема и ее доказательство через ряды Тейлора (стр. 1 из 2)
Прежде чем приступить к рассмотрению центральной предельной теоремы, я считаю нужным сказать о слабой сходимости.
Пусть задана последовательность случайных величин (далее с. в.)
, задано некоторое распределение 
с функцией распределения 
и 
— произвольная с. в., имеющая распределение .Определение.
Говорят, что последовательность с. в.
при 
сходится слабо или по распределению к с. в. и пишут: 
, или 
, или 
, если для любого
такого, что функция распределения 
непрерывна в точке , имеет место сходимость 
при .Иначе говоря, слабая сходимость — это поточечная сходимость функций распределения во всех точках непрерывности предельной функции распределения.
Свойство 1.
Если
, и функция распределения 
непрерывна в точках 
и 
, то
и т.д. (продолжить ряд).Наоборот, если во всех точках
и непрерывности функции распределения имеет место, например, сходимость , то .Следующее важное свойство уточняет отношения между сходимостями.
Свойство 2.
1. Если
, то .2. Если
, то 
.Свойство 3.
1. Если
и 
, то 
.2. Если
и , то 
.Несколько содержательных примеров слабой сходимости я рассмотрю ниже. Но основной источник слабо сходящихся последовательностей и необычайно мощное и универсальное средство для асимптотического анализа распределений сумм независимых и одинаково распределенных случайных величин предоставляет нам центральная предельная теорема.
Я буду называть следующее утверждение «ЦПТ Ляпунова» (А. М. Ляпунов: 1901), но сформулирую и докажу теорему Ляпунова только в частном случае, т.е. для последовательности независимых и одинаково распределенных случайных величин.
Центральная предельная теорема.
Пусть
— независимые и одинаково распределенные случайные величины с конечной и ненулевой дисперсией: 
. Обозначим через 
сумму первых 
случайных величин: 
.Тогда последовательность случайных величин
слабо сходится к стандартному нормальному распределению.Доказательство.
Пусть
— последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин с конечной и ненулевой дисперсией. Обозначим через математическое ожидание 
и через 
— дисперсию 
. Требуется доказать, что 
Введем стандартизированные случайные величины
— независимые с.в. с нулевыми математическими ожиданиями и единичными дисперсиями. Пусть 
есть их сумма 
. Требуется доказать, что
Характеристическая функция величины
равна 
Характеристическую функцию с.в.
можно разложить в ряд Тейлора, в коэффициентах которого использовать известные моменты 
, 
. Получим 
Подставим это разложение, взятое в точке
, в равенство и устремим к бесконечности. Еще раз воспользуемся замечательным пределом: 
В пределе получили характеристическую функцию стандартного нормального закона. По теореме о непрерывном соответствии можно сделать вывод о слабой сходимости :
распределений стандартизованных сумм к стандартному нормальному распределению, что и утверждается в ЦПТ.
Пользуясь определением и свойствами слабой сходимости, и заметив, что функция распределения
любого нормального закона непрерывна всюду на 
, утверждение ЦПТ можно сформулировать любым из следующих способов:Следствие.
Пусть
— независимые и одинаково распределенные случайные величины с конечной и ненулевой дисперсией. Следующие утверждения эквивалентны друг другу и равносильны утверждению ЦПТ.· Для любых вещественных
при имеет место сходимость 
· Для любых вещественных
при имеет место сходимость 
· Для любых вещественных
при имеет место сходимость 
· Если
— произвольная с. в. со стандартным нормальным распределением, то 