Численный метод расчета нестационарных режимов гидравлических систем (стр. 2 из 4)

-площадь сечения m-ой трубы.

Рисунок 1

Для «стыковки» моделей трубы и узла сформулируем условия примыкания. Будем пренебрегать местными сопротивлениями вблизи узла по сравнению с гидравлическими сопротивлениями по длине труб. Тогда условия примыкания имеют вид:

.

Где

- сосредоточенный параметр в узле (узловое давление), - давление в концевом (начальном) сечении m-й трубы.

В этом случае при заданных сосредоточенных параметрах условия примыкания обеспечивают единственность решения уравнений (1), (2) на отрезках, так как было отмечено, что для системы необходимо задавать по одному граничному условию на входных и выходных сечениях системы трубопровода.

Численный метод

Будем аппроксимировать систему (5), (6) схемой [2]:

Выражаем из (7)

и подставляем в (8), получаем разностное уравнение:

Это уравнение можно записать в виде:

где:

.

Для решения уравнения (9) используем следующий способ дискретизации задачи [6].

Введем на отрезке [0,1] сетку с узлами

в общем случае с неравномерным шагом .

Решение уравнения (9) будем искать например как решение задачи (преобразование Риккати)

Тогда для прогоночных коэффициентов

и получим следующие уравнения:

С учетом того, что начальные условия для прогоночных коэффициентов в узлах

и заранее неизвестны, вместо (10) рассматривается следующее уравнение для :

В отличии от уравнения (10) в (11) содержится дополнительное слагаемое, в котором

есть дополнительный прогоночный коэффициент, а параметр определяется как линейная комбинация значений и в виде:

так, что (12) при

обращается в тождество. Тогда для вычисления прогоночных коэффициентов получаем следующие задачи

Отметим, что начальные значения для уравнений (15)-(17)

, , являются свободными параметрами и могут быть выбраны специальным образом с учетом свойств решения этих уравнений.

Наряду с уравнением (13) на отрезке рассмотрим уравнение

в котором прогоночные коэффициенты

, , и параметр определяются аналогично предыдущему, но при задании начальных условий на правом конце отрезка, т.е. в точке . В результате аналогично (14) получим

и, кроме того,

Тогда с помощью уравнения (13) при

и уравнения (18) при , полагая , , , , , на каждом отрезке будем иметь систему двух уравнений:

которые могут быть приведены к следующему виду

где

Приравнивая производные слева и справа, в узлах сетки

, из уравнения (22) на отрезке и уравнения (23) на отрезке , получим разностные уравнения для неизвестных

Здесь коэффициенты

, , , вычисляются по формулам (24)-(29), при этом:

Для замыкания системы (30) привлекаем граничные условия.

Вычисление коэффициентов

Как было отмечено ранее граничные условия для уравнений (15)-(17), (19)-(21) являются свободными параметрами и могут быть выбраны специальным образом с учетом свойств решений этих уравнений.