Численный метод расчета нестационарных режимов гидравлических систем (стр. 1 из 4)

Министерство образования и науки

Российской федерации

Федеральное агентство по образованию

Новосибирский государственный университет

Механико-математический факультет

Кафедра математического моделирования

Дипломная работа

МИТКИНОВА Владимира Евгеньевича

Численный метод расчета нестационарных режимов гидравлических систем

Научный руководитель

Д. ф.-м. наук, профессор

А.Ф. Воеводин

Новосибирск 2010

Содержание

Содержание………………………………………………………………………..2

Введение…………………………………………………………………………...3

Постановка задачи………………………………………………………………...4

Математическая модель узла и условия сопряжения…………………………..7

Численный метод………………………………………………………………….9

Вычисление коэффициентов……………………………………………………12

Исследование свойств схемы…………………………………………………...13

Вычислительный эксперимент………………………………………………….15

Выводы…………………………………………………………………………...19

Литература……………………………………………………………………….20

Введение

Рассматривается математическая модель для расчета гидравлической системы на примере неустановившегося движения жидкости в системе трубопроводов. Результаты могут быть обобщены на любую гидравлическую систему (например, системы тепло-, водо-, нефте, и газоснабжения и т.п.).

Под гидравлической системой понимается совокупность участков труб произвольной трубопроводной системы и гидротехнических сооружений.

Движение жидкости в гидравлических системах описывается системой уравнений в частных производных гиперболического типа, причем область определения этих уравнений связана с ориентированным графом, отрезки (ребра) и вершины которого можно трактовать как различные элементы гидравлических систем.

Модель гидравлической системы представляется в виде композиции двух моделей: модели узла с сосредоточенными параметрами (т.е. все параметры функциями только времени), связываемой с вершинами графа. Модели трубы с распределенными параметрами (т.е. часть параметров являются функциями времени и пространственной координаты), связываемой с отрезками графа.

Для сопряжения этих двух моделей формулируются условия примыкания, выражающие связь между неизвестными на конце отрезка и параметрами в вершине, и балансовые соотношения, являющиеся функциональными связями между параметрами в вершине и неизвестными одновременно на всех отрезках, примыкающих к этой вершине.

Постановка задачи

Уравнения, описывающие изотермические движение жидкости в трубах имеют вид [1,4]:

Здесь x-пространственная координата, t-время, ρ- плотность жидкости, g-ускорение силы тяжести, α-угол между осью канала и вектором силы тяжести. Последнее слагаемое во 2ом уравнение системы учитывает потери на трение жидкости о стенки канала, D-диаметр канала, λ-коэффициент трения.

Полагаем, что трение отсутствует, трубопровод горизонтальный, течение дозвуковое и жидкость слабо сжимаемая. Тогда исходная система перепишется в виде:

где

- скорость звука в жидкости.

Запишем систему в векторном виде:

Решая характеристическое уравнение:

находим собственные значения

и характеристические направления нашей системы:

Заметим, что характеристики являются прямыми линиями, и их уравнения имеют вид:

.

Также допускается запись системы (1), (2) в характеристической форме:

Определим инварианты Римана в виде:

Учитывая (3) и (4), запишем систему уравнений гидроудара через инварианты:

Система (1), (2) является гиперболической. Известно, что число граничных и начальных условий, задаваемых на границе области, равно числу характеристик, приходящих в область через эту границу, поэтому при

необходимо задавать два начальных условия:

При

и необходимо задавать по одному граничному условию, например:

Для расчетов удобно систему уравнений (1), (2) представить в безразмерном виде. Пусть

, , , – безразмерные переменные, где – масштаб длины, - масштаб времени, - масштаб скорости, – масштаб давления. Тогда уравнения (1), (2) перепишутся в виде:

Выберем

, , так, что , и обозначим – безразмерная скорость звука.

В результате получим систему уравнений (1), (2) в безразмерной форме:

В дальнейшем для простоты выкладок черту над независимыми переменными и искомыми функциями будем опускать.

Математическая модель узла и условия сопряжения

Место соединения труб с дополнительным отводом (подводом) жидкости будем описывать моделью с сосредоточенными параметрами (моделью узла). При этом будем считать, что в узле:

а) происходит полное мгновенное перемешивание жидкости;

б) нет местных сопротивлений.
Пусть уравнения (1), (2) заданы на отрезках (ребрах) графа, содержащего J вершин и K отрезков;

- множество номеров отрезков, примыкающих к j-ому узлу; - множество номеров отрезков, из которых жидкость поступает в данный узел; - множество номеров отрезков, которые отводят жидкость из узла. Тогда для j-го узла можно записать следующие балансовые соотношения, вытекающие из закона сохранения массы [1,2]:

-скорость в концевом (начальном) сечении m-ой трубы.

-сосредоточенный подвод (отвод) жидкости в узле.