Смекни!
smekni.com

Балансовые модели (стр. 6 из 7)

Ниже рассматриваются необходимые и достаточные условия отрицательности корней характеристического уравнения линейной однородной системы с постоянными коэффициентами — критерий Гурвица (Рауса-Гурвица), а также частотный критерий Михайлова, являющийся геометрическим признаком, эквивалентным критерию Гурвица.

Определение. Полином

, где
,
,
называется полиномом Гурвица, если все его корни имеют отрицательные вещественные части.

Если полином

является полиномом Гурвица, то все
.

Составим

-матрицу Гурвица вида

Теорема Гурвица (критерий Гурвица). Для того чтобы полином

являлся полиномом Гурвица, необходимо и достаточно, чтобы были положительны все главные диагональные миноры его матрицы Гурвица
:

Если степень полинома

сравнительно большая, то применение критерия Гурвица становится затруднительным. В этом случае для определения расположения корней полинома
на комплексной плоскости иногда оказывается более удобным использование частотного критерия Михайлова.

Определение. Пусть

, где
,
,
. Кривая
,
называется годографом Михайлова функции
.

Критерий Михайлова непосредственно следует из леммы:

Лемма 2. Угол поворота в положительном направлении ненулевого вектора

при
равен
, где
— число корней полинома
с положительной вещественной частью с учетом их кратностей.

Критерий Михайлова. Для того чтобы полином

, не имеющий чисто мнимых корней, являлся полиномом Гурвица, необходимо и достаточно, чтобы угол поворота в положительном направлении вектора
при
был бы равен
.

Замечание. Если полином

есть полином Гурвица степени
, то вектор
монотонно поворачивается в положительном направлении на угол
, то есть годограф Михайлова, выходя из точки
положительной полуоси
, последовательно пересекает полуоси
, проходя
квадрантов.

Рассмотрим уравнение (3) с периодическими коэффициентами, т. е.

, (4)

где

. По формуле (5) предыдущей главы уравнение (4) имеет в рассматриваемом случае фундаментальную матрицу
, где
— неособая -периодическая непрерывная матрица, тем самым ограниченная вместе с обратной,
— жорданова матрица, собственные числа
которой — характеристические показатели уравнения (4). Из леммы 1 следует, что характеристические показатели играют при оценке фундаментальной матрицы ту же роль, что собственные числа
, когда
постоянна. Учитывая, что
, где
— мультипликаторы уравнения, получаем следующий результат:

Теорема 3. Линейная однородная система с периодическими коэффициентами: 1) устойчива по Ляпунову тогда и только тогда, когда все ее мультипликаторы не превышают по модулю единицы, а равные единице по модулю либо простые, либо им соответствуют простые элементарные делители матрицы монодромии; 2) асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда модули всех мультипликаторов меньше единицы.

Пример. Рассмотрим уравнение из примера п. 1.5:

Уравнение будем называть устойчивым по Ляпунову, асимптотически устойчивым или неустойчивым, если таковой является соответствующая ему линейная система. Мультипликаторы находятся из уравнения

:
, где
. Поэтому можно сделать вывод, что при
оба мультипликатора вещественны и один из них по абсолютной величине больше единицы, а при
мультипликаторы являются комплексно-сопряженными с модулями, равными единице. По теореме 3 при
уравнение
неустойчиво, а при
оно устойчиво по Ляпунову, но не асимптотически.

3. Изменение фазового объема

Как известно фазовый объем - объем в фазовом пространстве.

4. Одномерное движение частицы в потенциальном поле

Будем рассматривать автономную систему в векторной форме:

(2)

где функция f(x) определена в

.

Автономные системы обладают тем свойством, что если

— решение уравнения (2), то
,
, также решение уравнения (2). Отсюда в частности следует, что решение
можно записать в виде
. В геометрической интерпретации эта запись означает, что если две траектории уравнения (2) имеют общую точку, то они совпадают. При этом можно заметить, что траектория вполне определяется начальной точкой
, поэтому можно везде считать
.

Пусть

— положение равновесия, т. е.
. Для того чтобы точка
была положением равновесия, необходимо и достаточно, чтобы
. Предположим теперь, что траектория решения
не является положением равновесия, но имеет кратную точку, т. е. существуют
, такие, что
. Так как
— не положение равновесия, то
. Поэтому можно считать, что
при
. Обозначим
и покажем, что
— -периодическая функция.