Некоторые приложения определенного интеграла в математике (стр. 2 из 2)

Предполагая 0<x<

, имеем неравенства

.

Проинтегрируем эти неравенства в промежутке от 0 до

:

Отсюда, в силу (1), находим

или

.

Так как разность между двумя крайними выражениями

,

очевидно, стремится к 0 при

, то является их общим пределом. Итак,

или

.

Отсюда в свою очередь вытекает

Эта формула носит название формулы Валлиса. Она дает довольно простое выражение числа p через натуральные числа. Теоретически этот результат интересен. Что касается ценности этой формулы как средства фактического вычисления p, то она невелика. Именно, чтобы получить удовлетворительную точность, надо взять n довольно большим, а тогда выражение

оказывается весьма громоздким.

4.2. Применение формулы Валлиса для интеграла Эйлера-Пуассона.

Интеграл Эйлера-Пуассона имеет вид:

;

Приведём метод его нахождения. Мы знаем что положив:

(т.к. ),

имеем соотношение:

;

отсюда заключаем:

,

что дает:

.

Установив это, замечаем, что предел отношения

при бесконечно большом n равен единице; действительно, так как убывает при возрастании n, то мы имеем неравенство:

или:

.

Мы видим, следовательно, что

заключается между единицей и дробью , которая также равна единице при бесконечном n.

Установив это, получаем равенство:

,

которое нам дает, если заставим n бесконечно возрастать:

,

и, следовательно:

.

Полагая теперь

в интеграле , мы получим следующее новое выражение:

;

заменив затем z на

, получаем:

и, следовательно, при бесконечном n

.

Достаточно затем положить

, чтобы установить результат, к которому мы стремились:

.

4.3. Вывод формулы Тейлора с остаточным членом в интегральной форме.

Формула интегрирования по частям:

,

а обобщенная формула примет вид:

. (1)

Положим, что в формуле (1)

. Тогда , , …, , ; при x=b все функции v, v’, …, обращаются в нуль. Пользуясь для u, u’, u’’, … функциональным обозначением f(x), f’(x), f’’(x), …, перепишем (1) в виде

.

Отсюда получается формула Тейлора с дополнительным членом в виде определенного интеграла

.

Заменим здесь b через x, а

через :

.

Новое выражение для дополнительного члена, не содержит никаких неизвестных чисел.

Если угодно, из этого выражения можно было бы вывести и уже знакомые нам формы дополнительного члена. Например, воспользовавшись тем, что множитель

подинтегральной функции не меняет знака, можно применить к последнему интегралу обобщенную теорему о среднем

,

где с содержится в промежутке

. Таким образом, мы вновь получили лангранжеву форму дополнительного члена.

5. Заключение.

В курсовой работе даны определения определенного и несобственного интеграла и его виды, рассмотрены вопросы некоторого приложения определенного интеграла. В частности, формула Валлиса, имеющая историческое значение, как первое представление числа p в виде предела легко вычисляемой рациональной варианты, а также вычисление интеграла Эйлера-Пуассона с помощью этой формулы. Рассмотрен способ получения формулы Тейлора с дополнительным членом в интегральной форме.

Формулой Валлиса в теоретических исследованиях пользуются и сейчас (например, при выведении формулы Стирлинга). Что касается фактического приближенного вычисления p, то существуют методы, гораздо более быстро ведущие к цели.

Интеграл Эйлера-Пуассона применяется при вычислении более сложных несобственных интегралов, встречается в теории вероятности.

Новое выражение для дополнительного члена в формуле Тейлора интересно тем, что оно не содержит никаких неизвестных чисел.

Данную курсовую работу можно использовать в качестве лекционного и справочного материала.

Список литературы

Фихтенгольц Г. М. «Курс дифференциального и интегрального исчисления»(II том) – Москва, 1970г.

Пискунов Н.С. «Дифференциальное и интегральное исчисления»(I том) - Москва, 1970г.

Эрмит Ш. «Курс анализа» - Москва, 1936г.