Некоторые приложения определенного интеграла в математике (стр. 1 из 2)
Некоторые приложения определенного интеграла в математике
Курсовая работа студента гр. МТ-21
Нургалиев А.З.
Павлодарский университет
Павлодар 2005 год.
1. Введение.
В курсовой работе рассмотрены вопросы некоторого приложения определенного интеграла. Цель: изучить актуальность применения определенного интеграла и широту его использования в математике, оценить ее практическую и теоретическую значимость.
При разработки данного вопроса, был также рассмотрен несобственный интеграл, как частный случай определенного интеграла, его определение и виды.
2. Определенный интеграл.
Пусть функция f(x) задана в некотором промежутке [a,b]. Разобьем этот промежуток произвольным образом на части, вставив между a и b точки деления:
. Наибольшую из разностей 
(i=0,1,2, …,n-1) будем впредь обозначать через λ.Возьмем в каждом из частных промежутков
по произволу точку 
и составим сумму
.Говорят, что сумма σ при λ→0 имеет (конечный) предел I, если для каждого числа ε>0 найдется такое число δ>0, что, лишь только λ<δ (т.е. основной промежуток разбит на части, с длинами
), неравенство 
выполняется при любом выборе чисел
.Записывают это так:
. (1)Этому определению «на языке ε-δ», как обычно, противопоставляется определение «на языке последовательностей». Представим себе, что промежуток [α,b] последовательно разбивается на части, сначала одним способом, затем – вторым, третьим и т.д. Такую последовательность разбиений промежутка на части мы будем называть основной, если соответствующая последовательность значений
сходится к нулю.Равенство (1) можно понимать теперь и в том смысле, что последовательность значений суммы σ, отвечающая любой основной последовательности разбиений промежутка, всегда стремится к пределу I, как бы ни выбирать при этом
.Второе определение позволяет перенести основные понятия и предложения теории пределов и на этот новый предел.
Конечный предел I суммы σ при λ→0 называется определенным интегралом функции f(x) в промежутке от α до b и обозначается символом
;в случае существования такого предела функции f(x) называется интегрируемой в промежутке [α,b].
Числа α и b носят название, соответственно, нижнего и верхнего пределов интеграла. При постоянных пределах определенный интеграл представляет собой постоянное число.
3. Несобственные интегралы.
Пусть f непрерывна на луче на луче
и F(x) – первообразная для f на луче . Если существует 
,то этот предел обозначается
и называется сходящимся несобственным интегралом.Несобственные интеграл вида
и аналогичный интеграл 
получаются при замене в интеграле Римана с помощью функции t=t(x), непрерывной и дифференцируемой на полуинтервале [a,b) ( или (a,b] ) и являющейся бесконечно большой определенного знака при 
(или 
).Здесь существенно, что особой точкой функции t является именно конец (левый или правый) отрезка [a,b]. Если особой точкой t(x) (как в разобранном выше примере) является внутренняя точка с интервала (a,b), то
разбивается на 
и 
, и переход к аргументу t делается раздельно в каждом из слагаемых.Пример.
Вычислим
.Пусть
, 
Другим видом несобственного интеграла является интеграл
, если функция f не ограничена на 
, но непрерывна на 
при любом 
, 
(или на 
), т.е. не ограничена в окрестности точки 
(точки b).Этот интеграл существует (сходится), если существует:
Пример.
, если 
f(x) непрерывна на [0,1]. После замены
получаем 
. 
не ограничена на [0,1], т.к. первообразная функция на 
при любом , 
равна: 
, то 
.Несобственный интеграл может появится и при интегрировании по частям.
,т.е.
,где
- первообразная для arcsinx на [0,1].4.1.Формула Валлиса.
Для вывода формулы Валлиса необходимо вычислить следующий интеграл:
(при натуральном m).Интегрируя по частям, найдём
.Двойная подстановка обращает в нуль. Заменяя
через 
, получим 
откуда рекуррентная формула:
,по которой интеграл
последовательно приводится к 
и 
. Именно, при m=2n имеем 
,если же m=2n+1, то
.Такие же точно результаты получаются и для
.Для более короткой записи найденных выражений воспользуемся символом m!!(произведение натуральных чисел, не превосходящих m и одной с ним чётности). Тогда можно будет написать
 |
(1)