Решение нелинейных уравнений с одной переменной (стр. 2 из 2)

1.7. Уточнение корней комбинированным методом хорд и касательных

Методы хорд и касательных дают приближение корня с разных сторон. Поэтому их часто применяют в сочетании друг с другом. В этом случае процесс уточнения корня идет быстрее.

Метод реализуется по следующей схеме:

1. По методу хорд находят первое приближение корня

.

2. По методу касательных находят

. Если кривая относится к I-му типу, то . Если ко II-му типу, то .

3. По методу хорд

.

4. По методу касательных

.

Шаги 3 и 4 повторяются до тех пор, пока

. Как только можно считать корень найденным .

Лабораторная работа №1. Решение нелинейных уравнений с одной переменной.

1. Сделать программу отделения корней уравнения F(x)=0 на [a, b] с шагом 0,5. 2. Сделать программы уточнения корней уравнения F(x)=0 на одном из отрезков, полученных в первой программе с точностью 0,001. a) Методом половинного деления; a) Методом итерации; b) Методом хорд; c) Методом касательных; d) Комбинированным методом хорд и касательных.

Тест. Найти все корни уравнения x⁴-x³-2x²+3x-3=0 на

.

На этапе отделения корней с шагом h=1 получаем отрезки

, Корни уравнения с точностью е=0,01 : -1,73… и 1,73…

Контрольные вопросы

1. В чем заключается этап отделения корней при использовании численных методов решения уравнений? Какое условие должно выполняться, чтобы можно было считать что на достаточно малом отрезке находится один корень? Что является исходными данными и что необходимо найти в программе Отделения корней?

2. В чем заключается этап уточнения корней методом половинного деления? Каким образом в этом методе реализуется выбор той половины отрезка, на которой находится корень? При каком условии деление отрезков прекращается и выводится результат?

3. Почему функции делятся на два типа при уточнении корней методом хорд? По какому условию осуществляется это деление? Дайте графическую иллюстрацию этого метода. Что служит критерием для прекращения вычислений в данном методе?

4. Почему функции делятся на два типа при уточнении корней методом касательных? По какому условию осуществляется это деление? Дайте графическую иллюстрацию этого метода. Что служит критерием для прекращения вычислений в данном методе?

5. В чем заключается этап уточнения корней комбинированным методом? Дайте графическую иллюстрацию этого метода. Что служит критерием для прекращения вычислений в данном методе?

6. В чем суть метода итерации? Каковы достаточные условия сходимости итерационной последовательности для уравнения x=f(x) на отрезке [a; b], содержащем один корень? Что служит критерием для прекращения вычислений в данном методе?