Система уравнений по формулам Крамера (стр. 1 из 2)

Задание № 1

Решить систему уравнений:

1) по формулам Крамера

2) с помощью обратной матрицы

3) методом Гаусса

Решение

найдем определитель матрицы

1) методом Крамера

найдем определители

найдем значения

;

2) метод обратной матрицы

транспонированная матрица

найдем алгебраические дополнения

;

матрица из дополнений

3) методом Гаусса

построим расширенную матрицу

приведем матрицу к треугольному виду

разделим первое уравнение на 3 и вычтем второе

умножим первое уравнение на 5/3 вычтем третье

Второе уравнение умножим на 3, третье уравнение умножим на 3

второе уравнение умножаем на 4/11 вычитаем третье.

Первое уравнение разделим на 3

Второе уравнение разделим на -11

третье уравнение разделим на 159/11

полученной матрице соответствует система уравнений

решаем уравнение снизу вверх

решение системы

Задание № 2

Координаты вершин пирамиды А(1, -4, 0), В(5, 0, -2), С(3, 7, -10), Д(1, -2, 1) – вершины пирамиды. Найти:

1) записать векторы АВ, АС, АД в системе орт и найти их длины

2) найти угол между векторами АВ и АС

3) найти проекцию вектора АД на вектор АВ

4) найти площадь грани АВС

5) найти объем пирамиды АВСД

Решение

1. записать векторы

в системе орт и найти их длины.

Произвольный вектор может быть представлен в системе орт i, j, k следующей формулой

, где

- проекции вектора а на соответствующие координатные оси. Если даны точки

, то проекции вектора

на координатные оси находятся по формулам

;

расстояние между двумя точками

определяется по формуле

запишем вектор

;

длина АВ будет равна

запишем вектор

;

длина АС будет равна

запишем вектор

;

длина АД будет равна

2. найти угол между векторами

;

косинус угла между двумя векторами равен скалярному произведению этих векторов, деленному на произведение их модулей.

модуль вектора

равен

модуль вектора

равен

скалярное произведение векторов

Таким образом,

, угол А=36,86°

3. найти проекцию вектора

на вектор

;

Проекция вектора

на вектор

равна скалярному произведению этих векторов, деленному на модуль вектора

скалярное произведение векторов

4. найти объем пирамиды ABCД

Объем пирамиды равен 1/6 объема параллелепипеда, построенного на ребрах

Объем параллелепипеда, построенного на трех некомпланарных векторах

, равен абсолютной величине их смешанного произведения

Объем пирамиды равен

Задание № 3

Найти указанные пределы

а)

б)

- бесконечно малые

в)