Деякі скінченно-різнецеві методи розвязування звичайних диференціальних рівнянь (стр. 5 из 6)

Схема обчислення відрізка методом послідовних наближень

№ наближення	і	x	y
І	0 1	x0 x1
ІІ	0 1 2	x0 x1 x2
ІІІ	0 1 2 3	x0 x1 x2 x3

Далі переходимо до другого наближення. Для того, використовуємо дані із знаходження ламаних рядків, обчислюємо значення

і :

(7)

(8)

Двочленні формули отримуються відповідно із формули (5) при і=0 і із формули (2) при і=1 в результаті відкидання різниць порядка вищого ніж перший.

Таким чином, отримаємо можливість знайти

і ,

в результаті чого можна порахувати

і скласти різниці

Отримані результати записуємо у таблицю в розділ 2 основного бланка

Для знаходження третього наближення застосовуємо трьохчленні формули, які отримуються із формули (2) при і=2 після відкидання різниць третього порядку. Обчислюємо значення

із трьохчленних формул:

(9)

(10)

(11)

Звідси можна знайти

і обчислити

. Після цього можна заповнити розділ ІІІ в таблиці (І) знайшовши потрібні різниці звичайним порядком.

Метод Чаплигіна

Метод Чаплигіна є одним із найбільш точним із аналітичних методів наближеного інтегрування диф. рівнянь причому допускаючи просту оцінку погрішності. Суть полягає у тому, що шуканий розв’язок

апроксимуючись двома послідовними функціями

задовольняючи подвійну нерівність

і початковими умовами

причому такими, що на при . Геометрично це означає, що шукана інтегральна крива стискається в як завгодно малий криволінійний сектор А₀В_nC_n (мал. 1).

Якщо положити то максимальна абсолютна погрішність наближеного розв’язку буде рівна ця погрішність на кожному кроці визначається безпосередньо.

Покажемо ідею метода Чаплигіна для диф. рівнянь першого порядку

(1)

з початковою умовою

(2)

Причому будемо мати на увазі, що права частина

непереривна і має неперервні похідні і в деякому околі початкової точки . Метод побудований на одній лемі.

Лема Чаплигіна про інтегральні нерівності.

Нехай

- диференціальний оператор, який відповідає диференціальному рівнянню (1), і

інтеграл рівняння (1)

(3)

яке задовольняє початкову умову

і вибраний при

.

Якщо функція

задовольняючи умови:

(4)

і

то на відрізку

виконується нерівність

(5)

так чи однаке функція і являється наближеним розв’язком

.

Аналогічно і для функції

виконуються умови: