Численное решение краевых задач для двумерного уравнения колебания (стр. 10 из 10)
Вычислительную математику в узком смысле понимают как теорию численных методов и алгоритмов решения широкого круга математических задач. В этом смысле теория разностных схем – это раздел вычислительной математики, изучающий методы приближенного решения дифференциальных уравнений путем их замены конечно – разностными уравнениями (разностными схемами). Такое понимание вычислительной математики получило распространение на первоначальном этапе развития вычислительной математики. В связи с интенсивным развитием вычислительной техники и ее использованием во всех отраслях народного хозяйства, вычислительную математику в широком смысле определяют как раздел математики, включающий круг вопросов, связанных с использованием ЭВМ.
Крупнейшим достижением вычислительной математики второй половины XX века является разработка экономичных методов решения многомерных краевых задач математической физики.
Экономичные разностные схемы подразделяются на факторизованные и аддитивные. В факторизованных схемах аппроксимацию исходной дифференциальной задачи понимают в обычном смысле, в аддитивных – в суммарном смысле.
В данной работе проведено теоретическое исследование разностных схем расщепления для первой краевой задачи двумерного уравнения колебания.
Для достижения цели исследования была решена следующая задача:
- рассмотрены методы расщепления для двумерного уравнения колебания.
Рассматриваем решение разностных задач методом правой прогонки.
Аддитивная схема обладает суммарной аппроксимацией, если каждая схема номера
Исследованы аппроксимация и устойчивость аддитивной схемы. Рассмотренные аддитивные схемы отличны от ранее рассмотренных схем и поэтому в некотором смысле являются новыми.
Список использованной литературы
1. Самарский А.А. Теория разностных схем.М.:Наука,1977.
2. Охлопков Н.М. Методологические вопросы теории и практики разностных схем.Иркутск:ИГУ,1989.
3. Охлопков Н.М., Охлопков Г.Н. Введение в специальность “Прикладная математика” ч.1. Якутск: Изд-во ЯГУ, 1997.
4. Охлопков Н.М., Охлопков Г.Н. Введение в специальность “Прикладная математика” ч.2. Якутск: Изд-во ЯГУ, 1997.
5. Охлопков Н.М. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Якутск: Изд-во ЯГУ, 1993.
6. Охлопков Н.М. Численные методы решения краевых задач математической физики. Якутск: Изд-во ЯГУ, 1993.
7. Охлопков Н.М. О некоторых разностных методах решения задач для дифференциальных уравнений. Иркутск:ИГУ,1986.
8. Охлопков Н.М. Метод целых шагов решения многомерных нестационарных задач математической физики. Иркутск:ИГУ,1983.
9. Охлопков Н.М. Об экономичных методах решения задач математической физики. Якутск,ЯГУ,1982.
10. Охлопков Н.М., Николаев В.Е. Модульная технология решения задач математической физики. Иркутск:ИГУ,1989.
11. Охлопков Н.М., Николаев В.Е. Пакет программ численного решения задач математической физики.ч.2.Якутск,ЯГУ,1989.
12. Охлопков Н.М. Методологические и технологические вопросы прикладной и вычислительной математики. Якутск,1991.
13. Охлопков Н.М. Методические разработки по модульному анализу задач для дифференциальных уравнений. Якутск,ЯГУ,1996.
Методы расщепления
для двумерного уравнения колебания
Постановка задачи:
Двумерное уравнение колебания с постоянными коэффициентами.
, 0 < xα < lα , (3.1)0 < t <=T , α = 1,2
u(x,0) = u0(x) , ut(x,0) = u1(x) , x = (x1 , x2 ) (3.2)
– начальные условия
Краевые условия 1-го рода
(3.3)Тестовые задачи
Пусть задачи (3.1), (3.2), (3.3) имеют точное решение
(3.4)B-const ( 1) B>0 , 2) B<0 )
- правая часть 
- начальные условия 
усл. 1-го рода1)Методы расщепления (последовательного и параллельного перехода).
2) построить схемы с весами и по каждому направлению свести к следующему виду
(*)и решить эту систему методом правой прогонки:
, 
, 
, 
(**) 
, 
Разностную схему с условием первого рода сведем к виду (*) и решим методом правой прогонки (**).