Численное решение краевых задач для двумерного уравнения колебания (стр. 2 из 10)

Соответствие функций u(х) и u_h можно установить различными способами, например,

u_h=u(x), х

w_h.

В дальнейшем мы будем пользоваться этим способом соответствия.

В линейном пространстве H_h введем норму

, которая являетсяаналогом нормы || • ||_н в исходном пространстве Н. Обычно принятовыбирать норму в пространстве H_h так, чтобы при стремлении к нулю h она переходила в ту или иную норму функций, заданных на всем отрезке, т.е. чтобы выполнялось условие

, (1.2)

где

- норма в пространстве функций, определенных на отрезке,

которому принадлежит решение.

Условие (1.2) называют условием согласования в пространствах H_h, и Н.

Рассмотрим простейшие типы норм в H_h для случая сеток w_h={x_i=i

h} на отрезке .

1.Норма

удовлетворяет условию (1.2), если в качестве Н рассматривать пространство непрерывных функций с нормой

а сеточную функцию определять в виде (1.2), т.е.

2.Норма

удовлетворяет условию (1.2), если за Н принять пространство непрерывных функций с нормой

а сеточную функцию определять в виде

[4, 6].

1.3. Аппроксимация дифференциальных операторов

Пусть имеем дифференциальный оператор

. Этот операторможно аппроксимировать несколькими способами. Например,

- правая разностнаяпроизводная;(1.3) - левая разностная производная;(1.4)

- центральная разностная производная. (1.5)

Можно взять их линейную комбинацию

,(1.6)

где

- вещественный параметр.

При

=1 из (1.6) получаем аппроксимацию (1.3); при =0 - аппроксимацию (1.4), а при =0.5 - аппроксимацию (1.5).

Чтобы показать погрешность аппроксимации, разложим по формуле Тейлора

, (1.7)

предполагая, что функция v(x) достаточно гладкая в некоторой окрестности

(х- h_o,x + h₀) точки х, h<h₀, h₀ - фиксированное число.

Подставляя это разложение в (1.3), (1.4), (1.5), получим:

Отсюда видно, что

Пусть L - дифференциальный оператор, L_h - разностный оператор, заданный на сетке w_h. Говорят, что разностный оператор L_h:

1)аппроксимирует дифференциальный оператор L в узле

, если , где v(x) - достаточно гладкая функция, стремится кнулю при ;

2) аппроксимирует L с порядком n>0 в узле

если , т.е.

, M = const>0.

В качестве следующего примера рассмотрим оператор Lv = v"(x).

Для аппроксимации этого оператора используем трехточечный шаблон (x-h, х, x+h).

Замечая

, имеем

Отсюда

Пользуясь разложением (1.7), покажем, что порядок аппроксимации равен двум, т.е.

так как

[1].

1.4. Разностная схема

Как правило, дифференциальное уравнение решается с некоторыми дополнительными условиями - начальными (задача Коши), краевыми (краевая задача) либо и с начальными, и с краевыми условиями(смешанные задачи). Эти дополнительные условия при переходе к разностным уравнениям надо также аппроксимировать.

Пусть имеем некоторую дифференциальную задачу, записанную в виде

Lu = f(x), x

G(1.8)

с дополнительным условием

lu =

(х), х Г.(1.9)

Введем в области

сетку

и поставим в соответствие задаче (1.8), (1.9) разностную задачу
L_hy_h=f_h, x

w_h,(1.10)

, x y_h.(1.11)

Функции У_h(х), f_h(x),

зависят от шага сетки. Меняя h, получаем множества функций , зависящих от параметра h. Таким образом, мы рассматриваем не одну разностную задачу, а семейство задач, зависящее от параметра h. Это семейство задач называется разностной схемой.

Рассмотрим примеры разностных схем, аппроксимирующих дифференциальные задачи.

Пример 1. Имеем задачу Коши

Используем аппроксимации:

После этого имеем разностную схему:

Расчетный алгоритм имеет вид

Пример 2. Рассмотрим задачу Коши