Численное решение краевых задач для двумерного уравнения колебания (стр. 3 из 10)

Воспользуемся следующими аппроксимациями:

После этого имеем разностную схему

[4].

1.5. Корректность разностной схемы

Пусть имеем дифференциальную задачу

Lu = f(x), x

G, (1.12)

lu =

(х), х

Г (1.13)

и на сетке

аппроксимируем ее разностной схемой

L_hy_h=f_h, x

w_h, (1.14)

, x

y_h. (1.15)

Задача (1.12), (1.13) поставлена корректно, если выполнены условия:

1) задача однозначно разрешима при любых правых частях f

Н;

2) решение задачи непрерывно зависит от правых частей f

Н, т.е.

Аналогично определяется понятие корректности разностной схемы (1.14), (1.15). Говорят, что разностная схема (1.14), (1.15) корректна, если при всех достаточно малых |h|<h₀:

1) решение у_h разностной схемы существует и единственно для всех
входных данных f_h

H_h,

H_h;

2) существуют постоянные М₁>0, М₂>0 не зависящие от h и такие, что
при любых f_h

H_h,

H_h справедлива оценка

(1.16)

Свойство 2), означающее непрерывную зависимость, равномерную относительно h, решения разностной схемы от правых частей, называется устойчивостью разностной схемы. Рассмотрим примеры.

Пример 1. Пусть имеем задачу:

(1.17)

Точным решением задачи (1.17) является функция

Если ввести новую функцию

, то получим задачу

(1.18)

Решением задачи (1.18) является функция

Задачу (1.18) аппроксимируем на равномерной сетке

схемой:

(1.19)

Перепишем схему (1.19) в виде

Отсюда имеем

Рассмотрим фиксированную точку

и выберем последовательность сеток

таких, чтобы

, т.е.

является узлом сетки

при

Вычислим значение у в этой точке

.Taк как

при

и любых h, то

при любом h. Из этого неравенства видно, что решение разностной схемы (1.19) непрерывно зависит от входных данных. В таких случаях говорят, что разностная схема устойчива по входным данным (по начальным условиям и по правой части).

Пример 2. Имеем уравнение

. (1.20)

Точным решением задачи (1.20) является функция

Отсюда следует неравенство

|u(x)|

|u_o|(1.21)

при

Для устойчивости вычислительных алгоритмов решения задачи (1.20) должно быть выполнено условие вида (1.21), т.е.

(1.22)

Задачу (1.20) аппроксимируем явной схемой Эйлера

(1.23)

y(0)=u(0).

Выражая решение схемы (1.23) через начальное условие, имеем

Неравенство (1.22) будет выполнено, если

т.е.

Таким образом, явная схема Эйлера условно устойчива.

Пример 3. Для численного решения задачи (1.20) используем неявную схему Эйлера

Отсюда

т.е.

при

Схема (1.24) абсолютно устойчива, ибо выполнено условие (1.22) при любом h.

Пример 4. Задачу (1.20) аппроксимируем схемой с весом

(1.25)

Отсюда имеем

Условие (1.22) будет выполнено, если

т.е.

Отсюда получаем

Схема абсолютно устойчива при

т.е. схема (7.25) условно устойчива при

[4].

1.6. Аппроксимация и сходимость

Для того, чтобы выяснить, с какой точностью приблизили функцию u=u(x) с помощью функции у(х), мы должны их сравнить. Пусть u^hзначение функции u(х) на сеточной области

, т.е. u^h

H_h.

Рассмотрим погрешность решения разностной схемы (1.14), (1.15), которая аппроксимирует на сетке

дифференциальную задачу (1.12), (1.13).

Введем функцию погрешности решения

z_h=y_h-u^h,

где y_h- решение схемы (1.14), (1.15), u^h- решение задачи (1.12), (1.13) на сетке

. Подставив y_h = z_h + u^h в линейную задачу (1.14), (1.15), получим для z_h задачу того же вида, что и (1.14), (1.15):

(1.26)

(1.27)

где

(1.28)

Функции (1.28) называются погрешностью аппроксимации задачи (1.12), (1.13), схемой (1.14), (1.15) на решении задачи (1.12), (1.13).

Будем говорить, что решение разностной схемы (1.14), (1.15) сходится к решению задачи (1.12), (1.13), если