Численное решение краевых задач для двумерного уравнения колебания (стр. 7 из 10)

Для нелинейных уравнений метод предиктор-корректор может служить при восстановлении дивергентности схемы, с помощью которой строятся безытерационные разностные схемы.

К классу экономичных разностных схем относятся разностные схемы с расщепляющимся оператором на верхнем слое. Метод использует алгоритм счета основанный на расщеплении оператора. Он был предложен Е.Г.Дьяконовым для случая параллелепипеда и для более сложных областей. Заметим, что для уравнений с постоянными коэффициентами разностные расщепляющиеся операторы по существу встречались в экономичных разностных схемах метода расщепления. Обычно неявные разностные схемы для нестационарных задач имеют вид

(2.26)

где

- вектор значений функций на слое сетки - заданный вектор, - некоторые разностные операторы.

Е.Г.Дьяконов называет разностный оператор А расщепляющимся, если его можно представить в виде

, где - операторы размерности меньшей, чем р. Если все одномерные операторы, то нахождение из (2.26) сводится к последовательному решению p систем уравнений .

Наиболее близким к идее расщепляющегося разностного оператора на верхнем слое является метод факторизации разностного оператора на верхнем слое. Однако, как уже было отмечено выше, факторизация расщепляющегося оператора по методу возможна лишь для уравнений с неразделяющимися переменными. В этом случав расщепляющийся оператор А можно факторизовать лишь неполностью, при этом из-за неполной факторизации оператора А возникает необходимость на каждом временном слое применять итерационный процесс, являющийся некоторым видоизменением метода.

В работах Е.Г.Дьяконова дан анализ краевого условия первого рода для метода расщепления, из которого видно, что в методе расщепления встречаются некоторые затруднения на границе областей, составленных даже из прямоугольников.

Более подробный анализ краевых условий для метода расщепления дается в работе. Н.Н.Яненко. В ней анализируются три реализации краевого условия первого рода для метода расщепления:

1) реализация Е.Г.Дьяконова;

2) реализация краевого условия с погрешностью аппроксимации
порядка

;

3) реализация способа аппроксимации краевого условия первого рода
с погрешностью аппроксимации порядка

.

В работе показывается, что реализация 2) годится для областей произвольной формы. В то время как реализация 3) становится неэффективной даже в случае области, состоящей из конечного числа прямоугольников. Более общий прием реализации краевого условия первого рода был предложен почти одновременно С.А.Кряквиной и Н.Н.Анучиной (по Н.Н.Яненко). Сущность метода состоит в замене граничных значений неопределенными функциями. После чего задача состоит в том, чтобы минимизировать ошибку R_n Н.Н.Яненко в работе придает методу неопределенных функций более общую формулировку, где неопределенные функции вводятся сразу в правых частях расщепленных разностных схем.

Вопросы анализа краевого условия второго рода для области о криволинейной границей заметно усложняются. В работе предлагается итерационный процесс решения второй краевой задачи для метода расщепления.

Дальнейшим развитием метода дробных шагов является локально-одновременный метод переменных направлений А.А.Самарского, пригодный для решения широкого класса задач математической физики для областей произвольной формы. Дадим краткое описание метода на примере уравнения (2.11).

В каждом слое

рассматривается одномерное дифференциальное уравнение

(2.27)

Для решения (2.27) используются однородные разностные схемы

(2.28)

изученные.

Таким образом, разностной схемой ПУ, соответствующей уравнению (2.11) является совокупность (блок)

одномерных схем . Каждая из схем имеет погрешность аппроксимации

где u – решение уравнения (2.11). Погрешность аппроксимации схемы

определяется суммой

.

Все

вычисляются на решении исходной задачи. Если то , где .

Сходимость решения разностной схемы (2.28) к решению задачи (2.11) доказывается специально разработанным для однородных разностных схем методом априорных оценок. Дифференциальные задачи аппроксимируются семейством однородных разностных схем, коэффициенты которых задаются шаблонными функционалами. Метод построения семейства однородных разностных схем, предложенный А.Н.Тихоновым и А.А.Самарским успешно используется в локально-одномерном методе переменных направлений. В нем граничные условия для вспомогательных функций задаются естественным образом, поэтому граничная проблема здесь не возникает. Для случая области сложной формы впервые вопрос расщепления краевого условия третьего рода был рассмотрен И.В.Фрязиновым. Некоторые обобщения метода переменных направлений даются в работах В.П.Ильина. A.R.Mitchell в работе методом неопределенных коэффициентов строит схемы переменных направлений повышенной точности, из которых в частном случав получает схемы Писмена, Рэкфорда и Дугласа и схему стабилизирующей поправки Дугласа, Рэкфорда.

В работах Н.Н.Яненко и Г.В.Демидова метод расщепления трактуется как метод слабой аппроксимации для многомерной задачи Коши. В работе был рассмотрен вопрос сходимости метода дробных шагов в дифференциальной форме при решении корректной задачи Коши в банаховом пространстве. В работе для однородного уравнения параболического типа второго порядка с однородными условиями первого рода методом Фурье можно показать, что решение р-го расщепленного дифференциального уравнения совпадает с решением исходного уравнения, т.е.

. Неоднородная абстрактная задача Коши в банаховом пространстве Н рассмотрена в работе А.А.Самарского.

Методу слабой аппроксимации посвящены работы Н.Н.Яненко, А.А.Самарского, Г.И.Марчука, Д.Г.Гордезиани, Г.В.Мелидзе, Е.Г.Дьяконова, В.И.Лебедева, Г.А.Бюлера, Н.М.Охлопкова и др. Метод слабой аппроксимации используется как конструктивный метод построения экономичных разностных.

Г.И.Марчук разработал методы покомпонентного расщепления для широкого класса задач математической физики. Различным аспектам метода дробных шагов расщепления посвящены работы В.Б.Андреева, В.И.Лебедева, А.Н.Коновалова, Г.А.Бюлера, И.В.Фрязинова, Н.М.Охлопкова и многих др.

До сих пор мы рассматривали экономичные разностные схемы, построенные на основе классических явных и неявных разностных схем. Следует отметить, что наиболее экономичные разностные схемы могут быть построены на основе явно-неявных разностных схем с помощью расщепления разностного оператора и сеточной области. Такие схемы, как правило, реализуются явным образом, поэтому они наиболее эффективны в смысле количества арифметических операций и программирования на ЭВМ. Их изучали В.К. Саульев, Н.Н.Яненко, А.А.Самарский, В.П.Ильин, Н.М.Охлопков и многие другие [2,9].

§3 Схема расщепления с последовательным переходом

3.1.Постановка задачи.

Требуется найти функцию u(x₁,x₂,t), удовлетворяющую следующим условиям:

, 0 < x_α < l_α , α = 1,2 (1)

,

x = (x₁ , x₂ )

u(x,0) = u₀(x) , u_t(x,0) = u₁(x) ,

(2)

u(0, x₂,t) = μ₁^- , u(l₁, x₂,t) = μ₁⁺ (3)

u( x₁,0,t) = μ₂^- , u(x₁, l₂,t) = μ₂⁺