Основы математики (стр. 2 из 2)
Нижняя граница х0 = хmin – L / 2 = 26,7 – 10 / 2 = 21,7;
Верхняя граница хi = хmax + L / 2 = 99.9 + 10 / 2 = 104,9,
следовательно, у нас имеются интервалы: [21,7; 31,7); [31,7; 41,7); [41,7; 51,7); [51,7; 61,7); [61,7; 71,7); [71,7; 81,7); [81,7; 91,7); [91,7; 104,7].
5) wi = ni / n
| х 1-i x i | [21,7;31,7) | [31,7;41,7) | [41,7;51,7) | [51,7;61,7) | [61,7;71,7) | [71,7;81,7) | [81,7;91,7) | [91,7;104,7] |
| ni | 1 | 9 | 14 | 19 | 29 | 14 | 8 | 6 |
| wi | 0,01 | 0,09 | 0,14 | 0,19 | 0,29 | 0,14 | 0,08 | 0,06 |
Рис. 1. Гистограмма относительных частот
Перейдем от составленного интервального распределения к точечному выборочному распределению, взяв за значение признака середины частичных интервалов. Построим полигон относительных частот и найдем эмпирическую функцию распределения, построим ее график:
| x i | 26,7 | 36,7 | 46,7 | 56,7 | 66,7 | 76,7 | 86,7 | 98,3 |
| ni | 1 | 9 | 14 | 19 | 29 | 14 | 8 | 6 |
| wi | 0,01 | 0,09 | 0,14 | 0,19 | 0,29 | 0,14 | 0,08 | 0,06 |
Рис. 2. График интервального распределения.
Рис. 3. График эмпирической функции распределения
=
∑ xiwi= ∑ xiwi∑ xi wi = 26,7 * 0,01 + 36,7 * 0,09 + 46,7 * 0,14 + 56,7 * 0,19 + 66,7 * 0,29 + 76,7 * 0,14 + 86,7 *0,08 + 98,3 * 0,06 =26,71 + 3, 303 + 6,538 + 10,773 +
+ 19,343 + 10,738 + 6,936 + 5,898 = 90,2
= ∑ 
= = (26,7 – 90,2)2 * 0,01 +(36,7 – 90,2) 2 *0,09 + (46,7 – 90,2) 2 * 0,14 + (56,7 – 90,2) 2 * 0,19 + (66,7 – 90,2) 2 * 0,29 + (76,7 – 90,2) 2 *0,14 + (86,7 – 90,2) 2 * 0,08 + (98,3 – 90,2) 2 * 0,06 = 40,32 + 257,6 + 264,92 +213,23 + 160,15 + 25,52 + 0,98 + 3,94 = 966,66 
Задание № 8
Даны среднее квадратическое отклонение σ, выборочное среднее
и объем выборки nнормального распределенного признака генеральной совокупности. Найти доверительные интервалы для оценки генеральной средней 
с заданной надежностью γ. | σ | | n | γ |
| 7 | 112,4 | 26 | 0,95 |
Решение:
Доверительный интервал, в котором с вероятностью γ будет находиться средний интервал совокупности) для нормального распределения случайной величины с известным квадратичным отклонением σ, выборочной средней
и объемом выборки n равен. 
t – решение уравнения 2Ф (t) = γ, Ф (t) – функция Лапласа. В нашем случае Ф (t) =
= 0,475, следовательно, значение Ф (t) соответствует t = 2,13, тогда доверительный интервал будет равен: 
.В этом интервале с вероятностью γ = 0,95, будет находиться средняя генеральной совокупности.
Задание № 9
Даны исправленное среднее квадратическое отклонение S, выборочное среднее
и объем выборки n нормально распределенного признака генеральной совокупности. Пользуясь распределением Стьюдента, найти доверительные интервалы для оценки генеральной средней , с заданной надежностью γ. | S | | n | γ |
| 13 | 119.5 | 18 | 0,99 |
Решение:
Доверительный интервал, для нормального распределения случайной величины с известным квадратичным отклонением σ, но с известным исправленным средним квадратичным отклонением S, выборочной средней
и объемом выборки n и доверительной вероятностью γ, имеет вид. 
где tγ = t (γ; n) – коэффициенты Стьюдента, значения n = 18 и γ = 0,99, tγ = 2,39, то есть t (0,99; 18) = 2,39.
Тогда доверительный интервал:
В интервале (112,16; 126,84) с вероятностью γ = 0,99 будет находиться средняя генеральной совокупности.
Задание № 10
При уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности, если известны эмпирические и теоретические частоты.
| эмпирические частоты, ni | 3 | 13 | 17 | 45 | 13 | 14 | 5 |
| теоретические частоты, n’i | 5 | 15 | 14 | 50 | 11 | 12 | 3 |
Решение:
В соответствии с критерием согласия х 2 (Пирсона) определим наблюдаемое значение критерия:
Таким образом, Хо2 = 2,91, по таблице критических точек распределения при уровне значимости d = 0,05 и числе степени свободы к = m – 3 = 7 – 3 = 4, где m – число различных вариантов выборки, находим: Хкр2.
Хкр2 = х2 (0,05; 4) = 8,0
Так как Хо2 <Хкр2, то нет оснований отвергать гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности.