Линейное и нелинейное программирование (стр. 1 из 5)

Современный этап развития человечества отличается тем, что на смену века энергетики приходит век информатики. Происходит интенсивное внедрение новых технологий во все сферы человеческой деятельности. Встает реальная проблема перехода в информационное общество, для которого приоритетным должно стать развитие образования. Изменяется и структура знаний в обществе. Все большее значение для практической жизни приобретают фундаментальные знания, способствующие творческому развитию личности. Важна и конструктивность приобретаемых знаний, умение их структурировать в соответствии с поставленной целью. На базе знаний формируются новые информационные ресурсы общества. Формирование и получение новых знаний должно базироваться на строгой методологии системного подхода, в рамках которого отдельное место занимает модельный подход. Возможности модельного подхода крайне многообразны как по используемым формальным моделям, так и по способам реализации методов моделирования. Физическое моделирование позволяет получить достоверные результаты для достаточно простых систем.

В настоящее время нельзя назвать область человеческой деятельности, в которой в той или иной степени не использовались бы методы моделирования. Особенно это относится к сфере управления различными системами, где основными являются процессы принятия решений на основе получаемой информации.

1 Общая формулировка задания на курсовой проект

Вариант задания для задачи линейного программирования (ЗЛП) представляет собой область допустимых решений ЗЛП и целевую функцию. Для того чтобы определить, какое значение должна достигать целевая функция – минимальное или максимальное, необходимо найти градиент целевой функции. Если направление градиента совпадает с направлением стрелки у целевой функции в варианте задания, то в задаче определяется максимальное значение целевой функции, иначе – минимальное.

Итак, задание по решению ЗЛП состоит в следующем: построить математическую модель ЗЛП согласно варианту; получить решение ЗЛП графическим методом; решить ЗЛП алгебраическим методом; решить ЗЛП методом симплекс-таблицы; определить допустимое решение ЗЛП методом введения искусственного базиса; построить ЗЛП, двойственную данной, решить эту задачу и исследовать взаимосвязь между решениями взаимодвойственных задач.

Вариант для задачи целочисленного линейного программирования (ЗЦЛП) представляет собой область допустимых решений ЗЛП и целевую функцию. Задание состоит в следующем: решить ЗЦЛП, при условии целочисленности всех переменных, входящих в задачу методом ветвей и границ и методом отсекающих плоскостей (методом Гомори).

Вариант для задачи целочисленного линейного программирования с булевскими переменными составляется студентом самостоятельно с учетом следующих правил: в задаче используется не менее 5 переменных, не менее 4 ограничений, коэффициенты ограничений и целевой функции выбираются произвольно, но таким образом, чтобы система ограничений была совместна. Задание состоит в том, чтобы решить ЗЦЛП с булевскими переменными, используя алгоритм Баллаша и определить снижение трудоемкости вычислений по отношению к решению задачи методом полного перебора.

Задание на поиск глобального экстремума функции состоит в написании программы. Программа для поиска экстремума функции может быть разработана на любом алгоритмическом языке. Задание состоит в следующем: 1) найти точку глобального экстремума функции f(X) методом поиска по координатной сетке с постоянным шагом; 2) найти точку глобального экстремума функции f(X) методом случайного поиска; 3)сравнить результаты вычислений.

Задание для нахождения одномерного локального экстремума функции (одномерная оптимизация) состоит в том, чтобы выполнить поиск минимума заданной функции методом дихотомии (3-4 итерации), уточнить интервал поиска методом Фибоначчи (3 итерации) и завершить поиск методом кубической аппроксимации.

Задание для нахождения многомерного локального экстремума функции (многомерная оптимизация) состоит в том, чтобы минимизировать функцию, применяя следующие методы: нулевого порядка – Хука-Дживса, первого порядка – наискорейшего спуска (Коши), второго порядка – Ньютона, и провести сравнительный анализ методов оптимизации по количеству итераций, необходимых для поиска экстремума при фиксированной точности и начальных координатах поиска X⁽⁰⁾=[-1,-1]^T.

2 Линейное программирование

2.1 Задача линейного программирования

2.1.1 Постановка задачи линейного программирования

Построить математическую модель ЗЛП согласно варианту. Получить решение ЗЛП графическим методом. Решить ЗЛП алгебраическим методом. Решить ЗЛП методом симплекс-таблицы. Определить допустимое решение ЗЛП методом введения искусственного базиса. Построить ЗЛП, двойственную данной, решить эту задачу и исследовать взаимосвязь между решениями взаимодвойственных задач.

2.1.2 Математическая модель задачи линейного программирования

AB:

;

BC:

;

CD:

;

DE:

;

Математическая модель: