Матемитические основы моделирование 3d объектов (стр. 3 из 12)
Анализ данного процесса позволяет выяснить механизм мышления субъекта и факторы, влияющие на правдоподобие (достоверность) знаний субъекта о предметной области, а также найти способы построения правдоподобных моделей предметных областей.
Сущность процесса исследования заключается в отыскании достоверных ответов на поставленные вопросы. Общеизвестно, что какой вопрос, такой и ответ. Научные исследования предполагают отыскание ответов на корректно поставленные вопросы. В таких вопросах, как правило, требуется выбрать одно из возможных (альтернативных) решений некоторой проблемы (задачи) по определенным условиям.
Условие, по которому осуществляется выбор искомого решения, называется критерием. Как правило, критерий формулируется в виде некоторого отношения на множестве значений определенного показателя, который будем называть аргументом критерия.
§2. Цели и задачи компьютерного моделирования
Целью исследования обычно является определение значений параметров исследуемого объекта удовлетворяющих определенному критерию. Это означает, что в процессе исследования необходимо изменять значения параметров исследуемого объекта и таким образом измерять значения показателя, служащего аргументом критерия.
Процесс исследования заканчивается, когда исследователь находит совокупность значений параметров объекта, удовлетворяющую заданному критерию с заданной достоверностью. Проведение таких исследований называется экспериментом.
На практике такое экспериментирование с реальными объектами, как правило, обходится очень дорого, либо вообще не представляется возможным из-за нежелательных последствий эксперимента. Поэтому обычно в таких случаях для проведения научных экспериментов реальные объекты заменяются соответствующими им более простыми, безопасными и доступными объектами, свойства которых подобны свойствам исследуемых реальных объектов в определенной существенной части.
Объект, с целью изучения которого проводятся исследования, называется оригиналом, а объект, исследуемый вместо оригинала для изучения определенных свойств, называется моделью. В качестве моделей могут выбираться естественные объекты, обладающие свойствами, подобными соответствующим свойствам оригинала, или же создаваться специальные искусственные объекты с нужными свойствами.
Моделирование есть метод (или процесс) изучения свойств объектов-оригиналов посредством исследования соответствующих свойств их моделей.
Модели, представляющие собой материальные объекты, называются натурными или материальными.
При исследовании сложных систем, как правило, создать адекватную физическую модель не представляется возможным. В этих случаях ограничиваются созданием и исследованием математических описаний закономерных отношений между значениями параметров оригиналов. Такие описания называются математическими моделями.
Математическая модель - это образ исследуемого объекта, создаваемый в уме субъекта-исследователя с помощью определенных формальных (математических) систем с целью изучения (оценки) определенных свойств данного объекта.
Пусть некоторый объект Q обладает некоторым интересующим нас свойством C0. Для получения математической модели, описывающей данное свойство необходимо:
1. Определить показатель данного свойства (т.е. определить меру свойства в некоторой системе измерения).
2. Установить перечень свойств С1,...,Сm,, с которыми свойство С0 связано некоторыми отношениями (это могут быть внутренние свойства объекта и свойства внешней среды, влияющие на объект).
3. Описать в избранной форматной системе свойства внешней среды, как внешние факторы х1,...,хn, влияющие на искомый показатель Y, внутренние свойства объекта, как параметры z1,...,zr, а неучтенные свойства отнести к группе неучитываемых факторов (w1,...,ws).
4. Выяснить, если это возможно, закономерные отношения между Y и всеми учитываемыми факторами и параметрами, и составить математическое описание (модель).
В обобщенном виде схема такого описания (моделирования) показана на рис. 2.
Рис. 2. Моделирование, как субъективное отражение
объективной реальности.
Как показано на этом рисунке реальный объект характеризуется следующим функциональным отношением между показателями его свойств:
Y=f(x1,...,xn,z1,...,zr,w1,...,ws). (1.1)
Однако в модели отображаются только те факторы и параметры оригинального объекта, которые имеют существенное значение для решения исследуемой проблемы. Кроме того, измерения существенных факторов и параметров практически всегда содержат ошибки, вызываемые неточностью измерительных приборов и незнанием некоторых факторов. В силу этого математическая модель является только приближенным описанием свойств изучаемого объекта. А математическую модель можно определить еще и как абстракцию изучаемой реальной сущности.
Модели обычно отличаются от оригиналов по природе своих внутренних параметров. Подобие заключается в адекватности реакции Y модели и оригинала на изменение внешних факторов x1,...xn. Поэтому в общем случае математическая модель представляет собой функцию
Y' = f(x'1,...,x'n,p1,...,pm), (1.2)
где p1,...,pm внутренние параметры модели, адекватные параметрам оригинала.
В зависимости от применяемых методов математического описания изучаемых объектов (процессов) математические модели бывают аналитические, имитационные, логические, графические, автоматные и т.д.
Главным вопросом математического моделирования является вопрос о том, как точно составленная математическая модель отражает отношения между учитываемыми факторами, параметрами и показателем Y оцениваемого свойства реального объекта, т.е. на сколько точно уравнение (1.2) соответствует уравнению (1.1).
Иногда уравнение (1.2) может быть получено сразу в явном виде, например, в виде системы дифференциальных уравнений, или в виде иных явных математических соотношений.
В более сложных случаях вид уравнения (1.2) неизвестен и задача исследователя состоит, прежде всего, в том, чтобы найти это уравнение. При этом к числу варьируемых параметров х'1,...,х'n, относят все учитываемые внешние факторы и параметры исследуемого объекта, а к числу искомых параметров относят внутренние параметры модели p1,...,pm, связывающие факторы х'1,...,х'n, с показателем Y' наиболее правдоподобным отношением. Решением этой проблемы занимается теория эксперимента. Суть этой теории состоит в том, чтобы, основываясь на выборочных измерениях значений параметров х'1,...,х'n, и показателя Y', найти параметры p1,...,pm, при которых функция (1.2) наиболее точно отражает реальную закономерность (1.1).
§3. Теоретические аспекты математических основ моделирования, математическое моделирование, как научная методология решения проблемы
Выше уже упоминалось о том, что математическая модель является не самоцелью, а только средством для решения определенной проблемы. В связи с этим необходимость создания математической модели вытекает из выбираемой исследователем методологии решения проблемы. Для решения сложных проблем обычно применяют так называемый системный поход, в котором моделирование является основным методом исследования. В целом системный подход предполагает следующие этапы решения проблемы [29,67]:
* изучение предметной области (обследование),
* выявление и формулирование проблемы,
* математическая (формальная) постановка проблемы,
* натурное и/или математическое моделирование исследуемых объектов и процессов,
* статистическая обработка результатов моделирования,
* формулирование альтернативных решений,
* оценка альтернативных решений,
* формулирование выводов и предложений по решению проблемы.
В общем случае процесс исследования можно представить в виде следующей формальной системы:
(3.1)Здесь X(t) - множество значений входных факторов в момент времени t, О(t) - множество значений параметров, характеризующих различные внутренние состояния сложной системы в этот же момент времени, Y(t) и Y(t-1) - множества значений измеряемых показателей изучаемых свойств системы в обозначенные моменты времени. Первые два уравнения моделируют суть изучаемого процесса, а третье уравнение является математическим описанием (моделью) процесса воздействий исследователя на изучаемую систему. Исследователю, как правило, доступно только определенное подмножество Y’(t) наблюдаемых параметров и весьма ограниченное подмножество X’(t) управляемых факторов. Его представление о внутренних состояниях исследуемой системы также ограничено некоторым подмножеством. Поэтому в представлении исследователя математическая модель исследуемой им системы имеет вид:
(3.2)В целом формализованная схема процесса исследования сложной системы показана на рис. 3.
Рис. 3. Схема обобщенной математической модели процесса
Таким образом, необходимость математического моделирования является основой системного подходак решению сложных проблем. Разработка математических моделей представляет собой сложную исследовательскую задачу, процесс решение которой состоит из следующих этапов: