Смекни!
smekni.com

Максимальные факторизации симплектических групп (стр. 10 из 19)

Под проективным пространством

пространства
мы будем понимать множество всех подпространств пространства
. Таким образом,
состоит из элементов множества
, являющихся подпространствами в
;
- это частично упорядоченное множество, отношение порядка в котором индуцируется теоретико-множественным включением в
. Любые два элемента
и
из
имеют объединение и пересечение, а именно
и
, так что
- решетка; она имеет наибольший элемент
и наименьший элемент
. Каждому элементу
пространства
сопоставляется число
. Каждое
из
обладает рядом Жордана -- Гёльдера
, и все такие ряды имеют длину
. Положим

и назовем

,
,
множествами прямых, плоскостей и гиперплоскостей пространства
соответственно.

Проективность

пространства
на
- это биекция
со следующим свойством: для любых
,
из
включение
имеет место тогда и только тогда, когда
.

Очевидно, что композиция проективностей - проективность и отображение, обратное к проективности, - также проективность. Проективность пространства

на
сохраняет порядок, объединения, пересечения и ряды Жордана -- Гёльдера для элементов пространств
и
, поэтому справедливо следующее предложение.

Предложение Если

- проективность пространства
на
, то для любых элементов
,
из
выполняются соотношения

В частности,

отображает
на
и определяется своими значениями на
, т. е. на прямых.

Если

- геометрическое преобразование, то отображение
, полученное из
сужением, является проективностью пространства
на
. Всякая проективность
, имеющая вид
для некоторого такого
, будет называться проективным геометрическим преобразованием пространства
на
. Черту мы будем всегда использовать для обозначения проективного геометрического преобразования
, полученного описанным способом из геометрического преобразования
. Таким образом,
переводит подпространство
пространства
, т.е. точку
из
, в подпространство
пространства
. Имеем

В частности, композиция проективных геометрических преобразований и преобразование, обратное к проективному геометрическому, сами являются проективными геометрическими.

Геометрическое преобразование пространства

есть по определению геометрическое преобразование пространства
на себя. Множество геометрических преобразований пространства
является подгруппой группы подстановок множества
. Она будет обозначаться через
и называться общей геометрической группой пространства
. Под группой геометрических преобразований пространства
мы будем понимать произвольную подгруппу группы
. Общая линейная группа
и специальная линейная группа
являются, следовательно, группами геометрических преобразований. Под группой линейных преобразований будем понимать любую подгруппу группы
.