Смекни!
smekni.com

Максимальные факторизации симплектических групп (стр. 11 из 19)

Проективность пространства

есть по определению проективность этого пространства на себя. Множество проективностей пространства
- подгруппа группы подстановок множества
, которую мы будем называть общей группой проективностей пространства
. Применение черты индуцирует гомоморфизм

Иногда мы будем использовать

вместо
, полагая

для образа

подмножества
из
при
. В частности,
и
- подгруппы группы проективностей пространства
, они называются проективной общей линейной группой и проективной специальной линейной группой пространства
. Было доказано, что
совпадает с группой всех проективностей пространства
, поэтому мы используем это обозначение для обеих групп. Под группой проективностей пространства
будем понимать любую подгруппу группы
, а под проективной группой линейных преобразований пространства
- любую подгруппу группы
.

Для каждого ненулевого элемента

из
определим линейное преобразование
, полагая

Ясно, что

. Преобразование
из
вида
для некоторого
будем называть растяжением пространства
. Множество растяжений пространства
является нормальной подгруппой группы
, которая будет обозначаться через
. Очевидно, имеет место изоморфизм
. Имеют место следующие два предложения.

Предложение Элемент

группы
тогда и только тогда принадлежит группе
, когда
для всех прямых
из
. В частности,

и

Предложение Централизатор в

любого элемента из
, не являющегося растяжением, абелев.

Пусть теперь

- регулярное знакопеременное пространство. Тогда
будет, конечно, группой геометрических преобразований пространства
. Под группой симплектических преобразований знакопеременного пространства
мы будем понимать произвольную подгруппу из
. Группа
, получаемая из
применением гомоморфизма
, называется проективной симплектической группой знакопеременного пространства
. Под проективной группой симплектических преобразований пространства
будем понимать любую подгруппу группы
.

Предложение Если

- ненулевое регулярное знакопеременное пространство, то

Доказательство является легким упражнением и потому опускается.

Предложение Если

- регулярное знакопеременное пространство и
, то
.

Доказательство. Взяв симплектическую базу пространства

, с помощью без труда убеждаемся, что элемент
из
тогда и только тогда лежит в
, когда
.

Полярностью абстрактного векторного пространства

над полем
называется биекция
,
, такая, что

1)

,

2)

для всех

,
из
. Если
- регулярное знакопеременное пространство над
, то, очевидно,
- полярность; она называется полярностью, определенной знакопеременной формой
, имеющейся на
.

Предложение Пусть

- абстрактное векторное пространство над полем
и
. Предположим, что
- регулярное знакопеременное пространство относительно каждой из двух знакопеременных форм
и
. Формы
и
тогда и только тогда определяют одну и ту же полярность, когда найдется такой ненулевой элемент
из
, что
.