Проективность пространства
есть по определению проективность этого пространства на себя. Множество проективностей пространства - подгруппа группы подстановок множества , которую мы будем называть общей группой проективностей пространства . Применение черты индуцирует гомоморфизмИногда мы будем использовать
вместо , полагаядля образа
подмножества из при . В частности, и - подгруппы группы проективностей пространства , они называются проективной общей линейной группой и проективной специальной линейной группой пространства . Было доказано, что совпадает с группой всех проективностей пространства , поэтому мы используем это обозначение для обеих групп. Под группой проективностей пространства будем понимать любую подгруппу группы , а под проективной группой линейных преобразований пространства - любую подгруппу группы .Для каждого ненулевого элемента
из определим линейное преобразование , полагаяЯсно, что
. Преобразование из вида для некоторого будем называть растяжением пространства . Множество растяжений пространства является нормальной подгруппой группы , которая будет обозначаться через . Очевидно, имеет место изоморфизм . Имеют место следующие два предложения.Предложение Элемент группы тогда и только тогда принадлежит группе , когда для всех прямых из . В частности,
и
Предложение Централизатор в любого элемента из , не являющегося растяжением, абелев.
Пусть теперь
- регулярное знакопеременное пространство. Тогда будет, конечно, группой геометрических преобразований пространства . Под группой симплектических преобразований знакопеременного пространства мы будем понимать произвольную подгруппу из . Группа , получаемая из применением гомоморфизма , называется проективной симплектической группой знакопеременного пространства . Под проективной группой симплектических преобразований пространства будем понимать любую подгруппу группы .Предложение Если - ненулевое регулярное знакопеременное пространство, то
Доказательство является легким упражнением и потому опускается.
Предложение Если - регулярное знакопеременное пространство и , то .
Доказательство. Взяв симплектическую базу пространства
, с помощью без труда убеждаемся, что элемент из тогда и только тогда лежит в , когда .Полярностью абстрактного векторного пространства
над полем называется биекция , , такая, что1)
,2)
для всех
, из . Если - регулярное знакопеременное пространство над , то, очевидно, - полярность; она называется полярностью, определенной знакопеременной формой , имеющейся на .Предложение Пусть - абстрактное векторное пространство над полем и . Предположим, что - регулярное знакопеременное пространство относительно каждой из двух знакопеременных форм и . Формы и тогда и только тогда определяют одну и ту же полярность, когда найдется такой ненулевой элемент из , что .