Смекни!
smekni.com

Максимальные факторизации симплектических групп (стр. 12 из 19)

Доказательство. Если

, то утверждение очевидно. Остается доказать обратное утверждение. Так как
регулярно относительно
и
, то ввиду и ассоциированные линейные отображения
и
биективны, т. е.
и
. Из и предположения о том, что
и
определяют одну и ту же полярность, следует, что
для всех подпространств
из
. Следовательно,
- элемент группы
, относительно которого инвариантны все подпространства из
, В частности, относительно него инвариантны все прямые из
. Значит, ввиду
. Другими словами, найдется такой ненулевой элемент
из
, что
для всех
из
. Но тогда
для всех
из
. Поэтому
.

Структурные теоремы. Порядки симплектических групп

Предложение Если поле

бесконечно, то группы
,
над
также бесконечны.

Доказательство. Число трансвекций

из
бесконечно.

Теорема Порядок группы

равен

Порядок группы

равен

Доказательство. Второе утверждение следует из первого, так как группа

изоморфна группе
. Докажем первое утверждение индукцией по
. Если
, то
и можно считать
.

Под парой будем понимать упорядоченную пару векторов

,
, такую, что
. Если
фиксирован, то существует единственная пара
, где
принадлежит данной прямой, не ортогональной к
. Поэтому число пар с
на первом месте равно числу прямых, не лежащих в
, т. е.

Таким образом, имеется

пар с
на первом месте, а всего
пар.

Зафиксируем какую-нибудь пару

. По теореме Витта для каждой пары
найдется по крайней мере один элемент группы
, переводящий
в
. Следовательно, имеется точно

элементов из

, переводящих пару
в пару
. По предположению индукции это число равно

Далее, каждый элемент группы

переводит
точно в одну пару. Следовательно, группа
содержит


элементов, что и требовалось доказать.

Предложение Если

, то число максимальных вполне вырожденных подпространств пространства
равно

Доказательство. 1) Покажем сначала, что подгруппа

группы
, оставляющая на месте произвольное максимальное вполне вырожденное подпространство
пространства
, имеет порядок

Чтобы убедиться в этом, зафиксируем симплектическую базу

пространства

, в которой векторы
порождают
. Из следует, что матрица произвольного преобразования
имеет вид