Доказательство. Если
, то утверждение очевидно. Остается доказать обратное утверждение. Так как регулярно относительно и , то ввиду и ассоциированные линейные отображения и биективны, т. е. и . Из и предположения о том, что и определяют одну и ту же полярность, следует, что для всех подпространств из . Следовательно, - элемент группы , относительно которого инвариантны все подпространства из , В частности, относительно него инвариантны все прямые из . Значит, ввиду . Другими словами, найдется такой ненулевой элемент из , что для всех из . Но тогда для всех из . Поэтому .Предложение Если поле бесконечно, то группы , над также бесконечны.
Доказательство. Число трансвекций
из бесконечно.Порядок группы
равенДоказательство. Второе утверждение следует из первого, так как группа
изоморфна группе . Докажем первое утверждение индукцией по . Если , то и можно считать .Под парой будем понимать упорядоченную пару векторов
, , такую, что . Если фиксирован, то существует единственная пара , где принадлежит данной прямой, не ортогональной к . Поэтому число пар с на первом месте равно числу прямых, не лежащих в , т. е.Таким образом, имеется
пар с на первом месте, а всего пар.Зафиксируем какую-нибудь пару
. По теореме Витта для каждой пары найдется по крайней мере один элемент группы , переводящий в . Следовательно, имеется точноэлементов из
, переводящих пару в пару . По предположению индукции это число равноДалее, каждый элемент группы
переводит точно в одну пару. Следовательно, группа содержитэлементов, что и требовалось доказать.
Предложение Если , то число максимальных вполне вырожденных подпространств пространства равно
Доказательство. 1) Покажем сначала, что подгруппа
группы , оставляющая на месте произвольное максимальное вполне вырожденное подпространство пространства , имеет порядокЧтобы убедиться в этом, зафиксируем симплектическую базу
пространства
, в которой векторы порождают . Из следует, что матрица произвольного преобразования имеет вид