Доказательство. Если

, то утверждение очевидно. Остается доказать обратное утверждение. Так как

регулярно относительно

и

, то ввиду и ассоциированные линейные отображения

и

биективны, т. е.

и

. Из и предположения о том, что

и

определяют одну и ту же полярность, следует, что

для всех подпространств

из

. Следовательно,

- элемент группы

, относительно которого инвариантны все подпространства из

, В частности, относительно него инвариантны все прямые из

. Значит, ввиду

. Другими словами, найдется такой ненулевой элемент

из

, что

для всех

из

. Но тогда

для всех

из

. Поэтому

.
Предложение Если поле
бесконечно, то группы
,
над
также бесконечны. Доказательство. Число трансвекций

из

бесконечно.
Теорема Порядок группы
равен 
Порядок группы

равен

Доказательство. Второе утверждение следует из первого, так как группа

изоморфна группе

. Докажем первое утверждение индукцией по

. Если

, то

и можно считать

.
Под парой будем понимать упорядоченную пару векторов

,

, такую, что

. Если

фиксирован, то существует единственная пара

, где

принадлежит данной прямой, не ортогональной к

. Поэтому число пар с

на первом месте равно числу прямых, не лежащих в

, т. е.

Таким образом, имеется

пар с

на первом месте, а всего

пар.
Зафиксируем какую-нибудь пару

. По теореме Витта для каждой пары

найдется по крайней мере один элемент группы

, переводящий

в

. Следовательно, имеется точно

элементов из

, переводящих пару

в пару

. По предположению индукции это число равно

Далее, каждый элемент группы

переводит

точно в одну пару. Следовательно, группа

содержит

элементов, что и требовалось доказать.
Предложение Если
, то число максимальных вполне вырожденных подпространств пространства
равно 
Доказательство. 1) Покажем сначала, что подгруппа

группы

, оставляющая на месте произвольное максимальное вполне вырожденное подпространство

пространства

, имеет порядок

Чтобы убедиться в этом, зафиксируем симплектическую базу

пространства

, в которой векторы

порождают

. Из следует, что матрица произвольного преобразования

имеет вид