Смекни!
smekni.com

Максимальные факторизации симплектических групп (стр. 13 из 19)

где

, а
- симметрическая матрица порядка
над
; эти
и
определяются преобразованием
однозначно. Кроме того, любые такие
и
соответствуют некоторому
из
. Наше утверждение получается теперь, если умножить порядок группы
на число симметрических матриц порядка
над полем
, т. е.
.

2) Зафиксируем максимальное вполне вырожденное подпространство

пространства
. По теореме Витта все максимальные вполне вырожденные подпространства пространства
даются формулой
, где
пробегает группу
. Из замечания 1) легко следует, что в этом процессе каждое максимальное вполне вырожденное подпространство повторяется точно

раз, поэтому общее число таких подпространств равно порядку группы

, деленному на указанную величину. Очевидно, это и есть требуемое число.

Предложение Если

, то число регулярных плоскостей в пространстве
равно

Доказательство. Поступая, как при доказательстве утверждения , убедимся, что

должно содержать

регулярных плоскостей. Это число совпадает с указанным выше (применить теорему ).

Предложение Группа

изоморфна симметрической группе
.

Доказательство. Будем называть конфигурацией произвольное подмножество

из
элементов в
-мерном регулярном знакопеременном пространстве
над полем
, обладающее тем свойством, что любые два его различных элемента не ортогональны. Каждый ненулевой вектор
из
принадлежит ровно двум конфигурациям
и
, так что они пересекаются по
. Чтобы убедиться в этом, возьмем симплектическую базу
пространства
, в которой
. Ясно, что

и

- две различные конфигурации, пересекающиеся по множеству

. Легкая проверка перебором показывает, что других конфигураций, содержащих элемент
, нет. Если теперь выписать все различные конфигурации
в пространстве
, то каждый вектор
из
появится точно в двух из них, откуда
и
. Пусть
- Множество всех конфигураций в
.

Если

- произвольный элемент из
, то
тогда и только тогда является конфигурацией, когда
- конфигурация, поэтому
индуцирует отображение
. Ясно, что это отображение на и, значит, перестановка на
. Очевидно, что
есть гомоморфное отображение
. Чтобы найти его ядро, возьмем в
элемент
. Пусть
таков, что
. Пусть
и
- две конфигурации, содержащие
. Тогда
не принадлежит одной из них, скажем,
. Отсюда
и
. Другими словами, ядро тривиально, и мы имеем инъективный гомоморфизм
. По теореме группа
состоит из
элементов, поэтому
.

Центры

Заметим, что группа

неабелева. Чтобы убедиться в этом, достаточно взять нетривиальные проективные трансвекции из
с неортогональными вычетными прямыми. Следовательно, группа
также неабелева.

Предложение Группа

имеет тривиальный центр, а
.

Доказательство. Рассмотрим произвольный элемент

из центра группы
. Пусть
- произвольная прямая из
. Пусть
- проективная трансвекция из
с вычетной прямой
. Тогда вычетной прямой преобразования
является
. Но
, так как
лежит в центре. Следовательно,
для всех
. Поэтому
и, значит, группа
действительно не имеет центра. Второе утверждение следует из первого, если применить гомоморфизм
.