Смекни!
smekni.com

Максимальные факторизации симплектических групп (стр. 14 из 19)

Коммутанты

Предложение Если

,
- произвольные прямые из
, то множество трансвекций из
с вычетной прямой
и множество трансвекций с вычетной прямой
сопряжены относительно
.

Доказательство. По теореме Витта в группе

существует такой элемент
, что
. Тогда сопряжение элементом
отображает множество трансвекций из
с вычетной прямой
на множество трансвекций из
с вычетной прямой
.

Пример Две трансвекций из

не обязательно сопряжены в
. Например, трансвекций с вычетной прямой
, сопряженные с
, имеют вид
, где
пробегает
.

Замечание Пусть

- симплектическая база пространства
. Если
- произвольная симметрическая матрица порядка
2 над
и
- линейное преобразование, определенное матрицей

то мы знаем, что

принадлежит группе
. Если преобразовать
в
, производя 1) прибавление кратного одного столбца к другому с последующим аналогичным преобразованием соответствующих строк или 2) перестановку двух столбцов с последующей перестановкой соответствующих строк, то линейное преобразование
с матрицей

снова будет принадлежать группе

, так как
тоже будет симметрической. В действительности
и
сопряжены в
. Чтобы убедиться в этом, заметим, что
при подходящей матрице
из
. Преобразование
, определенное матрицей

принадлежит группе

, и
, так как


Предложение Предположим, что

,
,
и пусть
- нормальная подгруппа группы
, содержащая регулярный элемент
с вычетом
, представимый в виде произведения двух трансвекций из
. Тогда
.

Доказательство. Имеем разложение

, где
- регулярная плоскость. Рассмотрим группу

Тогда

. Кроме того,
. Это очевидно, если
; если же
, то применяем 2.1.12 и теорему 2.1.11 . Поэтому
- нормальная подгруппа в
, не содержащаяся в
. Отсюда следует, что
. В частности, если
- фиксированная прямая в
, то
содержит все трансвекции плоскости
с вычетной прямой
. Следовательно,
содержит все трансвекции из
с вычетной прямой
, а потому в силу вообще все трансвекции из
и
.

Предложение Предположим, что

,
или
,
, и пусть
- нормальная подгруппа группы
, содержащая вырожденный элемент
с вычетом 2, представимый в виде произведения двух трансвекций из
. Тогда
.