Максимальные факторизации симплектических групп (стр. 15 из 19)

Доказательство. 1) Модификация рассуждений, использованных при доказательстве утверждения , позволяет считать, что

, если , и , если .

2) Рассмотрим сначала случай

, . Тогда имеет вид , причем , а звездочки равны . Далее эти трансвекции перестановочны, так как , поэтому мы можем, если нужно, заменить на и считать, что на самом деле . Можно считать, что эта новая есть . В самом деле, если , то с помощью теоремы Витта выберем такое , что , . Тогда

Заменим теперь

на

Итак, можно считать, что

. Дополним до симплектической базы

пространства

и заметим, что

Подходящим сопряжением мы можем найти в

линейные преобразования с матрицами

в базе

. Произведение этих преобразований равно элементу из с матрицей

Следовательно, группа

содержит . Таким образом, она содержит все (= обе) трансвекции из с вычетной прямой . Ввиду отсюда следует, что содержит все трансвекции из и, значит, .

3) Пусть теперь

, . Тогда и . Дополним до симплектической базы

Тогда

Сопряжение дает нам в

линейные преобразования с матрицами

а потому и с матрицами

а значит, и с матрицей

Другими словами,

содержит и, следовательно, все трансвекции из , откуда .

Предложение Если

, то

за одним исключением:

.

Доказательство. Пусть

, для некоторого . По теореме Витта существует такое , что - плоскость и

Положим

Осталось применить и . В исключительном случае применяем и хорошо известные свойства группы

.

Предложение Если

, то

за одним исключением:

.

Теоремы о простоте

Теорема Для любого четного числа

и любого поля

группа

проста за исключением группы

, которая простой не является.

Доказательство. 1) Исключительное поведение группы

следует из . Будем предполагать поэтому, что в общем случае и при . Вместо проективной группы мы будем иметь дело с группой . Достаточно рассмотреть нормальную подгруппу группы , не содержащуюся в подгруппе , и доказать, что .

2) Сначала покажем, что имеются

, , такие, что - регулярная плоскость. Для этого возьмем в группе элемент . сдвигает по крайней мере одну прямую из , т. е. существует такая прямая из , что . Пусть - нетривиальная трансвекция из с вычетной прямой . Тогда элемент