Доказательство. 1) Модификация рассуждений, использованных при доказательстве утверждения , позволяет считать, что

, если

, и

, если

.
2) Рассмотрим сначала случай

,

. Тогда

имеет вид

, причем

, а звездочки равны

. Далее эти трансвекции перестановочны, так как

, поэтому мы можем, если нужно, заменить

на

и считать, что на самом деле

. Можно считать, что эта новая

есть

. В самом деле, если

, то с помощью теоремы Витта выберем такое

, что

,

. Тогда

Заменим теперь

на

Итак, можно считать, что

. Дополним

до симплектической базы

пространства

и заметим, что

Подходящим сопряжением мы можем найти в

линейные преобразования с матрицами

в базе

. Произведение этих преобразований равно элементу из

с матрицей

Следовательно, группа

содержит

. Таким образом, она содержит все (= обе) трансвекции из

с вычетной прямой

. Ввиду отсюда следует, что

содержит все трансвекции из

и, значит,

.
3) Пусть теперь

,

. Тогда

и

. Дополним

до симплектической базы

Тогда

Сопряжение дает нам в

линейные преобразования с матрицами

а потому и с матрицами

а значит, и с матрицей

Другими словами,

содержит

и, следовательно, все трансвекции из

, откуда

.
Предложение Если
, то
за одним исключением:
. Доказательство. Пусть

, для некоторого

. По теореме Витта существует такое

, что

- плоскость и

Положим

Осталось применить и . В исключительном случае применяем и хорошо известные свойства группы

.
Предложение Если
, то
за одним исключением:
. Теоремы о простоте
Теорема Для любого четного числа
и любого поля
группа
проста за исключением группы
, которая простой не является. Доказательство. 1) Исключительное поведение группы

следует из . Будем предполагать поэтому, что

в общем случае и

при

. Вместо проективной группы мы будем иметь дело с группой

. Достаточно рассмотреть нормальную подгруппу

группы

, не содержащуюся в подгруппе

, и доказать, что

.
2) Сначала покажем, что имеются

,

, такие, что

- регулярная плоскость. Для этого возьмем в группе

элемент

.

сдвигает по крайней мере одну прямую из

, т. е. существует такая прямая

из

, что

. Пусть

- нетривиальная трансвекция из

с вычетной прямой

. Тогда элемент