Максимальные факторизации симплектических групп (стр. 16 из 19)

принадлежит группе

и является произведением двух трансвекции из с различными вычетными прямыми и . Поэтому вычетное пространство преобразования есть плоскость , в частности, . Если - гиперболическое преобразование, то - инволюция. Применим теперь утверждение 1.18, если характеристика равна , и утверждение 1.13, если характеристика не равна . Тогда, в частности, мы получим, что не является произведением трансвекции из , что противоречит допущению. Итак, не может быть гиперболическим. Значит, существует такой вектор , что , т. е. - регулярная плоскость.

3) Можно также показать, что имеются вектор

и преобразование , такие, что - вырожденная плоскость. В самом деле, возьмем в элемент . Существует такой вектор , что . Если , то цель достигнута, поэтому будем считать, что . Выберем так, чтобы было

По теореме Витта в

найдется преобразование , такое, что , . Тогда преобразование принадлежит и переводит в , поэтому - вырожденная плоскость.

4) Возьмем

, так, чтобы плоскость была регулярной при и вырожденной при . Тогда преобразование

принадлежит группе

, является произведением двух трансвекций из и его вычетное пространство есть плоскость . Поэтому .

Предложение Если

и

- нормальная подгруппа группы

, то

или

, за исключением группы

, которая, очевидно, не обладает этим свойством.

Доказательство. По поводу исключения см. . Далее, применяя к

теорему , получим, что или . Допустим последнее. Тогда

Предложение доказано.

Теорему о простоте можно также доказать, используя группы подстановок. Напомним, что группой подстановок непустого множества

называется подгруппа группы всех подстановок множества . Далее, называется транзитивной, если для любых , существует такая подстановка из , что . Напомним, что разбиением множества называется множество попарно непересекающихся подмножеств, объединение которых равно . Тривиальными называются два разбиения, состоящие соответственно из самого и из всех одноэлементных подмножеств. Транзитивная группа подстановок множества называется импримитивной, если существует такое нетривиальное разбиение множества , что для всех , . В противном случае группа называется примитивной. Следующий результат является здесь ключевым.

Предложение Примитивная группа подстановок

множества

проста, если выполнены следующие условия: