Смекни!
smekni.com

Максимальные факторизации симплектических групп (стр. 17 из 19)

1)

,

2) для некоторого

стабилизатор
содержит такую нормальную абелеву подгруппу
, что
порождается подгруппами
,
.

Для доказательства теоремы с использованием этого результата рассмотрим

как группу подстановок множества прямых
пространства
. Это возможно ввиду того, что
, будучи подгруппой группы проективностей пространства
, точно действует на
и, значит,
естественно изоморфна группе подстановок множества
. Мы знаем, что группа
транзитивна (теорема Витта),
(см. ) и, наконец, множество проективных трансвекций из
с вычетной прямой
вместе с тождественным преобразованием образует нормальную абелеву подгруппу стабилизатора прямой
в
, которая вместе со своими сопряженными в
порождает группу
. Поэтому все, что осталось сделать, прежде чем сослаться на , - это проверить, что группа
примитивна.

Предложение При

группа
подстановок множества
прямых пространства
примитивна.

Доказательство. 1) Рассмотрим разбиение

множества
, содержащее по крайней мере два подмножества, одно из которых, скажем
, содержит не менее двух прямых. Нам нужно найти элемент группы
, не сохраняющий это разбиение. Допустим, что такого элемента не существует.

2) Пусть сначала

содержит две различные не ортогональные прямые
,
. Тогда каждые две различные прямые
,
из
должны быть не ортогональны. В самом деле, если это не так, то найдутся различные
,
из
, такие, что
. Возьмем прямую
из
, не принадлежащую подмножеству
. Если
, то по теореме Витта существует такое преобразование
из
, что
,
, и, следовательно, оно нарушает разбиение. Если
, то снова по теореме Витта имеется такое
, что
,
и, значит,
опять нарушает разбиение. Итак, никакие две различные прямые из
не является ортогональными. Только что проведенные рассуждения показывают, что если
- произвольная прямая из
, то
содержит все прямые из
, не ортогональные к
. Теперь очевидно, что можно найти в
прямую
, не ортогональную к
, но ортогональную к
тогда первое условие влечет за собой, что
, а второе - что
, - противоречие.

3) Мы можем, таким образом, считать, что все прямые из

попарно ортогональны. Рассуждения, использованные в п. 2), показывают тогда, что если
- произвольная прямая из
, то
содержит все прямые, ортогональные к
, а это невозможно. Предложение доказано.

Основные результаты

Пусть

- конечная группа,
и
- подгруппы группы
. Будем говорить, что группа
допускает факторизацию
, если для всякого
имеет место равенство
, где
,
. Факторизация называется максимальной, если
и
максимальные подгруппы в группе
. Мы рассмотрим максимальные факторизации симплектической группы
, определенной над конечным полем
.

Пусть

и
- целые числа,
,
. Если
- простое число, делящее
и не делящее числа
для
, то
называют примитивным простым делителем числа
.