Смекни!
smekni.com

Максимальные факторизации симплектических групп (стр. 18 из 19)

Хорошо известно, что при

,
и
всегда есть примитивный простой делитель числа
. Пусть
, где
- простое число,
- целое положительное число. Обозначим
наибольший примитивный простой делитель числа
(так, что
делит
и не делит
для
). Определим
как произведение всех примитивных простых делителей
. Мы будем рассматривать максимальные факторизации группы
. Отметим, что

Теорема Пусть

, где
- нечетное число. Если
, где
и
- максимальные подгруппы группы
, тогда
, где
- максимальная параболическая подгруппа группы
, изоморфная
и имеющая порядок

Доказательство. Предположим, что

делит
. Из следует, что
является одной из следующих групп
,
,
или
. Пусть сначала
. В этом случае
. Из следует, что
это в точности максимальная параболическая подгруппа группы
и
. Из сравнения порядков группы
и произведения
получаем следующую максимальную факторизацию:

Пусть теперь

является одной из следующих групп
,
или
. Из сказанного выше следует, что
не изоморфна
. Из пункта 2.4 получим, что
есть
или
. По теореме 2.4D
есть 3 или 7. Если
, тогда 5 делит
. В этом случае из следует, что
одна из групп
,
,
. Поскольку
, то
делит
. Однако
не делится на
. Противоречие с тем, что
. Следовательно,
и
. Так как 27 делит
, то
является параболической подгруппой группы
и имеет место факторизация:

Теорема доказана.

Пусть

, где
- положительное число. Тогда ортогональная группа
и
.
обозначает сплетение группы
с группой
, т.е.
, где
. Очевидно, что
;
- максимальная параболическая подгруппа в
порядка
;
- группа Судзуки порядка
, где
.

Лемма Пусть

. Тогда

Доказательство. Из следует, что

является максимальной подгруппой в
. Пусть
и
. Обозначим