Максимальные факторизации симплектических групп (стр. 2 из 19)

- индекс подгруппы в группе ;

;

- централизатор подгруппы в группе ;

- нормализатор подгруппы в группе ;

- центр группы ;

- циклическая группа порядка ;

Если

, то .

Если

, , то .

Классы групп, т.е. совокупности групп, замкнутые относительно изоморфизмов, обозначаются прописными готическими буквами. За некоторыми классами закреплены стандартные обозначения:

- класс всех сверхразрешимых групп;

- класс всех разрешимых групп.

Основные понятия

Группой называется непустое множество

с бинарной алгебраической операцией (умножением), которая удовлетворяет следующим требованием:

1) операция определена на

, т.е. для всех ;

2) операция ассоциативна, т.е.

для любых ;

3) в

существует единичный элемент , т.е. такой элемент , что для всех , что для всех ;

4) каждый элемент обладает обратным, т.е. для любого

существует такой элемент , что .

Более кратко: полугруппа с единицей, в которой каждый элемент обладает обратным, называется группой.

Группу с коммутативной операцией называют коммутативной или абелевой. Если

- конечное множество, являющиеся группой, то называют конечной группой, а число элементов в - порядком группы .

Подмножество

группы называется подгруппой, если - группа относительно той же операции, которая определена на . Запись означает, что - подгруппа группы , а - что - собственная подгруппа группы , т.е. и .

Теорема Непустое подмножество

группы

будет подгруппой тогда и только тогда, когда

и

для всех

.

Пусть

- непустое подмножество группы . Совокупность всех элементов группы , перестановочных с каждым элементом множества , называется централизатором множества

в группе и обозначается через .

Лемма 1. Если

- подмножество группы

, то централизатор

является подгруппой.

2. Если

и - подмножество группы и , то .

3. Если

- подмножество группы и , то .

Центром группы

называется совокупность всех элементов из

, перестановочных с каждым элементом группы. Центр обозначается через . Ясно, что , т.е. центр группы совпадает с централизатором подмножества в группе . Кроме того, .

Зафиксируем в группе

элемент . Пересечение всех подгрупп группы , содержащих элемент , назовем циклической подгруппой, порожденной элементом

, и обозначим через .