Максимальные факторизации симплектических групп (стр. 3 из 19)
Теорема Циклическая подгрупппа 
, порожденная элементом 
, состоит из всевозможных целых степеней элемента , т.е. 
.
Следствие Циклическая подгруппа абелева.
Пусть
- элемент группы 
. Если все степени элемента различны, т.е. 
для всех целых 
, то говорят, что элемента имеет бесконечный порядок.Если
- непустое подмножество группы и 
то 
и 
. Элемент 
называется перестановочным с подмножеством , если 
. Равенство означает, что для любого элемента 
существует такой элемент 
, что 
. Если элемент 
перестановочен с подмножеством , то и 
. Совокупность всех элементов группы , перестановочных с подмножеством , называется нормализатором подмножества в группе и обозначается через 
. Итак, 
Лемма Пусть - непустое подмножество группы , - произвольный элемент группы . Тогда:
1)
;2)
;3)
;4)
;5) если
- подгруппа группы , то 
.Подгруппа
называется нормальной подгруппой группы , если 
для всех 
. Запись 
читается: " - нормальная подгруппа группы ". Равенство означает, что для любого элемента 
существует элемент 
такой, что 
.Теорема Для подгруппы группы следующие утверждения эквивалентны:
1)
- нормальная подгруппа;2) подгруппа
вместе с каждым своим элементом содержит все ему сопряженные элементы, т.е. 
для всех ;3) подгруппа
совпадает с каждой своей сопряженной подгруппой, т.е. 
для всех .Лемма Пусть - подгруппа группы . Тогда:
1)
;2) если
и 
, то 
;3)
- наибольшая подгруппа группы , в которой нормальна;4) если
, то 
. Обратно, если , то ;5)
для любого непустого подмножества группы .В каждой группе
тривиальные подгруппы (единичная подгруппа 
и сама группа ) являются нормальными подгруппами. Если в неединичной группе нет других нормальных подгрупп, то группа называется простой. Единичную группу считают непростой.Знакопеременные пространства
Векторное пространство
над полем 
называется знакопеременным, если на нем задана знакопеременная билинейная форма 
, т. е. отображение 
со следующими свойствами: 
для всех
, 
, 
из и всех 
из . Отметим следствие этих соотношений: