Максимальные факторизации симплектических групп (стр. 5 из 19)

Тогда

откуда видно, что изменение матрицы пространства

при изменении базы описывается соотношением .

Если

- абстрактное векторное пространство с базой и - произвольная знакопеременная -матрица над , то существует единственный способ превратить в знакопеременное пространство, такое, что в , а именно, положить

где

- элемент, стоящий в матрице на месте .

Предложение Предположим, что

- знакопеременное пространство,

- его база и

в

. Тогда матричный изоморфизм, определенный базой

, отображает

на группу всех обратимых

-матриц

над

, удовлетворяющих соотношению

Дискриминантом

векторов в знакопеременном пространстве называется определитель

В частности, если

- база пространства и в этой базе, то

Если

- другая база, то соотношение показывает, что

для некоторого

из . Следовательно, канонический образ элемента в не зависит от базы; он называется дискриминантом знакопеременного пространства и обозначается через . Здесь множество определяется очевидным образом: берем факторгруппу , присоединяем к ней нуль 0 и полагаем, что произведение нуля и любого другого элемента равно нулю. Запись , где , будет обозначать, что равно каноническому образу элемента в или, другими словами, что обладает базой , для которой . Если , то полагаем .

Пример Рассмотрим знакопеременное пространство

со знакопеременной формой

. Пусть

- его база, а

- сопряженная база сопряженного пространства

. Пусть

в

. Тогда

. Легко видеть, что матрица линейного преобразования

, определенного ранее, относительно баз

и

равна

; действительно, если

, то

Аналогично матрица преобразования

относительно баз и равна .

Предложение Любые

векторов

знакопеременного пространства

, такие, что

, линейно независимы.

Доказательство. Зависимость

влечет за собой для . Это означает зависимость между строками матрицы , что невозможно, так как дискриминант не равен 0.

ПредложениеСледующие утверждения для знакопеременного пространства

равносильны:

•

,

•

,

•

,

•

биективно,

•

биективно.

Доказательство. Можно считать, что

. Зафиксируем базу пространства , и пусть - сопряженная база. Пусть в . Ввиду