Смекни!
smekni.com

Максимальные факторизации симплектических групп (стр. 6 из 19)

обратима
биективно,

поэтому (3) равносильно (5). Аналогично (3) равносильно (4). Далее

биективно
,

так что (5) равносильно (2). Наконец, очевидно, что (2) равносильно (1).

Определение Знакопеременное пространство

называется регулярным, если оно удовлетворяет одному из пяти равносильных условий . Знакопеременное пространство
называется вырожденным, если оно не является регулярным. Наконец, оно называется вполне вырожденным, если
.

Если

, то
регулярно. Если
, то ввиду и

Предложение Пусть

- представление знакопеременных пространств. Если
регулярно, то
- изометрия.

Доказательство. Возьмем

из ядра представления
. Тогда
. Отсюда ввиду регулярности пространства
получаем, что
.

Предложение Каждой базе

регулярного знакопеременного пространства
соответствует единственная база
этого пространства, называемая сопряженной к
относительно
и такая, что
для всех
,
. Если
в
и
в
, то
.

Доказательство. 1) Положим

для
, где
- сопряженная к
база сопряженного пространства
. Тогда
- база, так как
биективно. Кроме того,

Этим доказано существование базы

. Единственность непосредственно следует из регулярности.

2) Пусть

. Тогда
и

Отсюда

, так что
и
.

Рассмотрим знакопеременное пространство

со знакопеременной формой
. Будем говорить, что
имеет ортогональное разложение

на подпространства

если оно является прямой суммой
с попарно ортогональными
, т. е.
при
. Назовем
компонентами этого ортогонального разложения. Будем говорить, что подпространство
расщепляет
или что
является компонентой пространства
, если существует подпространство
пространства
, такое, что
. Имеем

где произведение берется в

.

Рассмотрим два знакопеременных пространства

и
над одним и тем же полем
и предположим, что имеется ортогональное разложение
, а
- сумма пространств
,
, причем
при
. Пусть для каждого
,
, задано представление
. Тогда, как известно из линейной алгебры, существует единственное линейное преобразование
, согласующееся с каждым
на
. На самом деле легко проверить, что
- представление. Мы будем записывать его в виде