обратима | |
биективно, |
поэтому (3) равносильно (5). Аналогично (3) равносильно (4). Далее
биективно | |
, |
так что (5) равносильно (2). Наконец, очевидно, что (2) равносильно (1).
Определение Знакопеременное пространство называется регулярным, если оно удовлетворяет одному из пяти равносильных условий . Знакопеременное пространство называется вырожденным, если оно не является регулярным. Наконец, оно называется вполне вырожденным, если .
Если
, то регулярно. Если , то ввиду иПредложение Пусть - представление знакопеременных пространств. Если регулярно, то - изометрия.
Доказательство. Возьмем
из ядра представления . Тогда . Отсюда ввиду регулярности пространства получаем, что .Предложение Каждой базе регулярного знакопеременного пространства соответствует единственная база этого пространства, называемая сопряженной к относительно и такая, что для всех , . Если в и в , то .
Доказательство. 1) Положим
для , где - сопряженная к база сопряженного пространства . Тогда - база, так как биективно. Кроме того,Этим доказано существование базы
. Единственность непосредственно следует из регулярности.2) Пусть
. Тогда иОтсюда
, так что и .Рассмотрим знакопеременное пространство
со знакопеременной формой . Будем говорить, что имеет ортогональное разложениена подпространства
если оно является прямой суммой с попарно ортогональными , т. е. при . Назовем компонентами этого ортогонального разложения. Будем говорить, что подпространство расщепляет или что является компонентой пространства , если существует подпространство пространства , такое, что . Имеемгде произведение берется в
.Рассмотрим два знакопеременных пространства
и над одним и тем же полем и предположим, что имеется ортогональное разложение , а - сумма пространств , , причем при . Пусть для каждого , , задано представление . Тогда, как известно из линейной алгебры, существует единственное линейное преобразование , согласующееся с каждым на . На самом деле легко проверить, что - представление. Мы будем записывать его в виде