Максимальные факторизации симплектических групп (стр. 7 из 19)

Важным является случай, когда

, для всех и для всех ; тогда

Если дано еще одно такое представление

, то

Рассмотрим знакопеременное пространство

над полем . Под ортогональным дополнением подпространства пространства в понимается подпространство

совпадающее также с

Определим радикал пространства

как подпространство . Очевидно,

ПредложениеПусть

- знакопеременное пространство, являющееся суммой попарно ортогональных подпространств, т. е.

, где

при

. Тогда

•

,

•

регулярно каждое регулярно,

•

регулярно .

Доказательство. (1) Возьмем в

произвольный элемент и запишем его в виде , . Тогда

так что

, откуда . Обратно, если , где , то

откуда

.

(2) Это следует из (1) и того, что знакопеременное пространство регулярно тогда и только тогда, когда его радикал равен

.

(3) Если

, , то

откуда

. Следовательно, и, значит, .

Предложение Если

- подпространство знакопеременного пространства

, то

- аннулятор пространства

в

, т. е.

. В частности,

.

Доказательство непосредственно следует из определений.

Предложение Пусть

- регулярное подпространство знакопеременного пространства

. Тогда

расщепляет

, точнее,

. Если

- другое расщепление,

.

Доказательство. Так как

регулярно, то . Следовательно, ввиду

Поэтому

и, значит, . Далее, если , то , откуда . Сравнивая размерности, получаем .

Предложение Если

и

- произвольные подпространства регулярного знакопеременного пространства

размерности

, то

•

,

•

,

•

,

•

,

•

.

Доказательство. Так как

регулярно, то ввиду отображение биективно. Следовательно, , откуда ввиду . Этим доказано (1). Далее, , поэтому сравнение размерностей дает . Этим доказано (2). Докажем теперь (3):

Аналогично доказывается (4). Наконец, утверждение (5) тривиально.

Рассмотрим радикал

знакопеременного пространства , и пусть - подпространство пространства , такое, что . Назовем всякое такое разложение радикальным разложением пространства . Очевидно, определяется не единственным образом, за исключением случаев, когда регулярно или вполне вырождено. Из соотношений