следует равенство
, поэтому регулярно.Теорема Если - регулярное знакопеременное пространство размерности , то
В частности, регулярное знакопеременное пространство имеет четную размерность и дискриминант
. Кроме того, регулярные знакопеременные пространства одинаковой размерности над одним и тем же полем изометричны.Доказательство. Ввиду регулярности пространства
существуют векторы и , удовлетворяющие условию . Так как , то эти векторы должны быть независимыми; поэтому - плоскость. Очевидно,В частности,
регулярно, так как дискриминант отличен от нуля. Следовательно, ввиду . Но - также регулярное знакопеременное пространство. Первое утверждение следует теперь из соображений индукции. Второе тривиально следует из первого. Для доказательства третьего утверждения применяем . Теорема доказана.База
регулярного знакопеременного пространства называется гиперболической, еслии симплектической, если
Если
- гиперболическая база пространства
, то перестановка- симплектическая база, и наоборот. По теореме ненулевое регулярное знакопеременное пространство имеет гиперболическую базу, а потому и симплектическую базу.
Предложение Пусть - регулярное знакопеременное пространство, - вполне вырожденное подпространство и - база подпространства . Тогда существует регулярное подпространство пространства вида , где - регулярные плоскости и , .
Доказательство. Случай
очевиден. При применяем индукцию по . Положим и . Тогда , откуда ввиду . Выберем и положим . Тогда , , и, следовательно, . Значит, - регулярная плоскость, содержащая . В силу можно записать . Тогда , так как и следовательно, . Остается применить предположение индукции к рассматриваемому как подпространство знакопеременного пространства .Предложение Если - максимальное вполне вырожденное подпространство регулярного знакопеременного пространства , то .
Доказательство. Так как
вполне вырождено, то , поэтому ввиду , откуда . Если допустить, что , то несложное применение утверждений и даст вполне вырожденное подпространство, строго содержащее в противоречие с максимальностью . Поэтому .Предложение Если и - максимальные вполне вырожденные подпространства регулярного знакопеременного пространства , удовлетворяющие условию , то для каждой базы пространства М существует такая база пространства , что - симплектическая база пространства .
Доказательство. Разумеется,
(ввиду ). Пусть , - база подпространства . Тогда - база пространства . Пусть - сопряженная к ней база относительно (см. ). Поскольку , то элементы лежат в . Значит, - база пространства , а