Смекни!
smekni.com

Максимальные факторизации симплектических групп (стр. 8 из 19)

следует равенство

, поэтому
регулярно.

Теорема Если

- регулярное знакопеременное пространство размерности
, то

В частности, регулярное знакопеременное пространство имеет четную размерность и дискриминант

. Кроме того, регулярные знакопеременные пространства одинаковой размерности над одним и тем же полем
изометричны.

Доказательство. Ввиду регулярности пространства

существуют векторы
и
, удовлетворяющие условию
. Так как
, то эти векторы должны быть независимыми; поэтому
- плоскость. Очевидно,

В частности,

регулярно, так как дискриминант отличен от нуля. Следовательно, ввиду
. Но
- также регулярное знакопеременное пространство. Первое утверждение следует теперь из соображений индукции. Второе тривиально следует из первого. Для доказательства третьего утверждения применяем . Теорема доказана.

База

регулярного знакопеременного пространства
называется гиперболической, если

и симплектической, если

Если

- гиперболическая база пространства

, то перестановка

- симплектическая база, и наоборот. По теореме ненулевое регулярное знакопеременное пространство имеет гиперболическую базу, а потому и симплектическую базу.

Предложение Пусть

- регулярное знакопеременное пространство,
- вполне вырожденное подпространство и
- база подпространства
. Тогда существует регулярное подпространство
пространства
вида
, где
- регулярные плоскости и
,
.

Доказательство. Случай

очевиден. При
применяем индукцию по
. Положим
и
. Тогда
, откуда
ввиду . Выберем
и положим
. Тогда
,
, и, следовательно,
. Значит,
- регулярная плоскость, содержащая
. В силу можно записать
. Тогда
, так как
и
следовательно,
. Остается применить предположение индукции к
рассматриваемому как подпространство знакопеременного пространства
.

Предложение Если

- максимальное вполне вырожденное подпространство регулярного знакопеременного пространства
, то
.

Доказательство. Так как

вполне вырождено, то
, поэтому ввиду
, откуда
. Если допустить, что
, то несложное применение утверждений и даст вполне вырожденное подпространство, строго содержащее
в противоречие с максимальностью
. Поэтому
.

Предложение Если

и
- максимальные вполне вырожденные подпространства регулярного знакопеременного пространства
, удовлетворяющие условию
, то для каждой базы
пространства М существует такая база
пространства
, что
- симплектическая база пространства
.

Доказательство. Разумеется,

(ввиду ). Пусть
, - база подпространства
. Тогда
- база пространства
. Пусть
- сопряженная к ней база относительно
(см. ). Поскольку
, то элементы
лежат в
. Значит,
- база пространства
, а