
следует равенство

, поэтому

регулярно.
Теорема Если
- регулярное знакопеременное пространство размерности
, то 
В частности, регулярное знакопеременное пространство имеет четную размерность и дискриминант

. Кроме того, регулярные знакопеременные пространства одинаковой размерности над одним и тем же полем

изометричны.
Доказательство. Ввиду регулярности пространства

существуют векторы

и

, удовлетворяющие условию

. Так как

, то эти векторы должны быть независимыми; поэтому

- плоскость. Очевидно,

В частности,

регулярно, так как дискриминант отличен от нуля. Следовательно, ввиду

. Но

- также регулярное знакопеременное пространство. Первое утверждение следует теперь из соображений индукции. Второе тривиально следует из первого. Для доказательства третьего утверждения применяем . Теорема доказана.
База

регулярного знакопеременного пространства

называется
гиперболической, если

и симплектической, если

Если

- гиперболическая база пространства

, то перестановка

- симплектическая база, и наоборот. По теореме ненулевое регулярное знакопеременное пространство имеет гиперболическую базу, а потому и симплектическую базу.
Предложение Пусть
- регулярное знакопеременное пространство,
- вполне вырожденное подпространство и
- база подпространства
. Тогда существует регулярное подпространство
пространства
вида
, где
- регулярные плоскости и
,
. Доказательство. Случай

очевиден. При

применяем индукцию по

. Положим

и

. Тогда

, откуда

ввиду . Выберем

и положим

. Тогда

,

, и, следовательно,

. Значит,

- регулярная плоскость, содержащая

. В силу можно записать

. Тогда

, так как

и

следовательно,

. Остается применить предположение индукции к

рассматриваемому как подпространство знакопеременного пространства

.
Предложение Если
- максимальное вполне вырожденное подпространство регулярного знакопеременного пространства
, то
. Доказательство. Так как

вполне вырождено, то

, поэтому ввиду

, откуда

. Если допустить, что

, то несложное применение утверждений и даст вполне вырожденное подпространство, строго содержащее

в противоречие с максимальностью

. Поэтому

.
Предложение Если
и
- максимальные вполне вырожденные подпространства регулярного знакопеременного пространства
, удовлетворяющие условию
, то для каждой базы
пространства М существует такая база
пространства
, что
- симплектическая база пространства
. Доказательство. Разумеется,

(ввиду ). Пусть

, - база подпространства

. Тогда

- база пространства

. Пусть

- сопряженная к ней база относительно

(см. ). Поскольку

, то элементы

лежат в

. Значит,

- база пространства

, а