Максимальные факторизации симплектических групп (стр. 9 из 19)

- симплектическая база в

.

Предложение Пусть

- регулярное знакопеременное пространство и

- его симплектическая база. Пусть

- максимальное вполне вырожденное пространство . Тогда матричный изоморфизм, ассоциированный с , отображает группу линейных преобразований

на группу матриц вида

где

- обратимая -матрица, а -матрица удовлетворяет соотношению .

Доказательство. Это легко проверяется надлежащим применением утверждения .

Теорема Теорема Витта Пусть

и

- изометричные регулярные знакопеременные пространства над одним и тем же полем

. Если

- произвольное подпространство пространства

и

- изометрия

в

, то ее можно продолжить до изометрии пространства

на

.

Доказательство. Возьмем радикальное разложение

, и пусть - база подпространства (имеется в виду, что , если ). Применяя к регулярному знакопеременному пространству , мы видим, что в нем существует подпространство вида

где

- регулярные плоскости и , . Так как регулярно, то оно расщепляет ; следовательно, существует регулярное подпространство пространства , такое, что

Положим

, и для . Тогда

Кроме того,

- радикальное разложение. Мы можем повторить предыдущие рассуждения и получить разложение

в котором

где

- регулярная плоскость и для . С помощью найдем изометрию пространства на , согласованную с на каждом , а следовательно, на . Кроме того, данное отображает на . Значит, существует продолжение изометрии до изометрии пространства на . Далее , так как изометрично , поэтому и, следовательно, по теореме существует изометрия пространства на . Таким образом, существует продолжение изометрии до изометрии пространства на .

Проективные преобразования

Геометрическое преобразование

абстрактного векторного пространства на абстрактное векторное пространство - это биекция со следующим свойством: подмножество пространства тогда и только тогда является подпространством в , когда - подпространство в .

Очевидно, что композиция геометрических преобразований - геометрическое преобразование и преобразование, обратное к геометрическому, - также геометрическое. Геометрическое преобразование сохраняет включение, объединение и пересечение подпространств, а также ряды Жордана -- Гёльдера, поэтому справедливо следующее предложение.

Предложение Если

- геометрическое преобразование пространства

на

, то для любых подпространств

,

пространства

выполняются соотношения