Основні властивості простору Соболєва (стр. 2 из 4)
(1.4) 
(1.5)і, відповідно до теореми про поповнення й визначення інтеграла Лебега, прийдемо до формул (1.2) і (1.3), де тепер похідні розуміються в узагальненому змісті, а інтеграл – у змісті Лебега. Для конкретних обчислень, зрозуміло, можна й потрібно користуватися формулами (1.4) і (1.5), взявши досить велике
тобто замість ідеальних елементів 
скористатися їхніми гладкими наближеннями 
1.3 Інше визначення узагальненої похідної
Нехай
– множина всіх безупинно диференцюємих на відрізку 
фінітних функцій 
Якщо тепер 
безупинно дференцюєма на відрізку 
те для довільної функції 
справедливо наступна інтегральна тотожність: 
(1.6)перевіряється інтегруванням вроздріб. Цією тотожністю
повністю визначається.Допустимо, що, крім того, для будь-яких
і деякої безперервної на відрізку функції 
(1.7)Віднімаючи ці тотожності, одержимо, що для будь-яких
Звідси, внаслідок щільності
в 
на відрізку 
Виявляється, інтегральна тотожність (1.7) можна прийняти за визначення узагальненої похідної. Насамперед, справедлива наступна лема.Лема 1. Якщо
то для будь-яких 
справедливо тотожність (1.6).Доказ. Нехай
тоді для всіх маємо (1.6): 
Внаслідок властивості безперервності скалярного добутку в останній рівності можна перейти до межі при
В результаті ми одержимо тотожність (1.6) для будь-якої функції 
Лема доведена.Лема 2. Нехай дані
такі, що для всіх 
справедливо тотожність (1.7). Тоді 
(узагальнена похідна).Доказ. Нехай
а 
Тоді 
при
для будь-якого
Нехай
– клас, представником якого є 
Тоді
для будь-яких
Звідси 
Лема доведена.1.4 Найпростіша теорема вкладення
Теорема 1.
вкладено в 
Доказ. Нехай
безупинно дференцюєма на відрізку Відповідно до теореми про середній, внаслідок безперервності 
найдеться крапка 
така, що 
Тому на відрізку справедливо наступна тотожність: 
За допомогою нерівності Коші-Буняковського маємо
де
Отже, для будь-який безупинно дференцюємої на відрізку
функції справедлива нерівність 
(1.8)Нехай тепер послідовність
– фундаментальна по нормі 
Тоді 
при
Отже, 
фундаментальна в змісті рівномірної збіжності й, за критерієм Коші рівномірної збіжності, сходиться до 
Тим більше 
в середньому. Таким чином, у класі з 
утримуючої як представник, утримується безперервна функція й, виходить, цей клас можна ототожнити з 
Ототожнимо елементи з безперервними функціями. Нехай 
Переходячи в нерівності 
до межі при 
прийдемо до нерівності (1.8).Отже, вкладення
в 
доведено. Доказ теореми закінчений. 
й 
Нехай
– однозв'язна область із досить гладкою границею 
В замкнутій області 
розглянемо лінійний простір усіляких безупинно диференцюємих функцій 
зі скалярним добутком