Смекни!
smekni.com

Гипергеометрическое уравнение (стр. 11 из 13)


4. Дифференциальное уравнение для вырожденной гипергеометрической функции. Вырожденная гипергеометрическая функция второго рода

Покажем, что вырожденная гипергеометрическая функция является частным решением дифференциального уравнения

z

+(
-z)
-
u=0, (5.1)

где

0,-1,-2,…

u= F(

,
,z)=
zk

=
zk-1

=
zk-2

Действительно, обозначая левую часть уравнения l(u) и пологаяu=

= F(
,
,z), имеем

l(

) =
zk-2+(
-z)
zk-1-
zk=

=[

-
]+
[k
+
-k-
]
0.

Чтобы получить второе линейное независимое решение рассматриваемого уравнения, предположим, что

, и выполним подстановку
.

Уравнение (5.1) преобразуется тогда в уравнение того же вида


z

+(
-z)
-
=0

с новыми значениями параметров

=1+
,
=2-
.Отсюда следует, что при
2,3,… функция также является решением уравнения (5.1).

Если

0,
1,
2,… оба решение (
) имеют смысл и линейно независимы между собой, поэтому общий интеграл уравнения (5.1) может быть представлен в виде

u= F(

,
,z)+B
F(1+
-
,2-
,z) (при
=1 u=
) (5.2)

0,
1,
2,…

Чтобы получить выражение общего интеграла в форме, пригодной для любых значений (кроме

=0,-1,-2,…), удобнл ввести вырожденную гипергеометрическую функцию второго рода

G

,
,z)=
F(
,
,z)+
F(1+
-
,2-
,z) (5.3)

0,
1,
2,…

Формула (5.3) определяет функцию G

,
,z) для любых
, отличных от целого числа. Покажем, что при
n+1 (n=0,1,2,…) правая часть (5.3) стремиться к определенному пределу.Для доказательства заменим гипергеометрические функции соответствующими рядами и воспользуемся соотношением теории Г-функции.Тогда получим (5.4)

G

,
,z)=
[
-
]=