Покажем, что вырожденная гипергеометрическая функция является частным решением дифференциального уравнения
z
+( -z) - u=0, (5.1)где
0,-1,-2,…u= F(
, ,z)= zk = zk-1 = zk-2Действительно, обозначая левую часть уравнения l(u) и пологаяu=
= F( , ,z), имеемl(
) = zk-2+( -z) zk-1- zk==[
- ]+ [k + -k- ] 0.Чтобы получить второе линейное независимое решение рассматриваемого уравнения, предположим, что
, и выполним подстановку .Уравнение (5.1) преобразуется тогда в уравнение того же вида
z
+( -z) - =0с новыми значениями параметров
=1+ , =2- .Отсюда следует, что при 2,3,… функция также является решением уравнения (5.1).Если
0, 1, 2,… оба решение ( ) имеют смысл и линейно независимы между собой, поэтому общий интеграл уравнения (5.1) может быть представлен в видеu= F(
, ,z)+B F(1+ - ,2- ,z) (при =1 u= ) (5.2) 0, 1, 2,…Чтобы получить выражение общего интеграла в форме, пригодной для любых значений (кроме
=0,-1,-2,…), удобнл ввести вырожденную гипергеометрическую функцию второго родаG
, ,z)= F( , ,z)+ F(1+ - ,2- ,z) (5.3) 0, 1, 2,…Формула (5.3) определяет функцию G
, ,z) для любых , отличных от целого числа. Покажем, что при n+1 (n=0,1,2,…) правая часть (5.3) стремиться к определенному пределу.Для доказательства заменим гипергеометрические функции соответствующими рядами и воспользуемся соотношением теории Г-функции.Тогда получим (5.4)G
, ,z)= [ - ]=