Гипергеометрическое уравнение (стр. 12 из 13)

=

( )

Мы имеем

= =

n=0,1,2,…

= = =

=

,

поэтому выражение в правой части (5.4) при

n+1 принимает неопределенный вид и стремится к пределу, значение которого может быть найдено по правилу Лопиталя. В соответствии с этим результатом положим

G(

, ,z)= G , ,z)= (-1)ⁿ⁺¹[ ] (5.5)

n=0,1,2,…

Выполнив вычисления, находим:

= [ ],

= [ ]+

+

,

откуда для G(

,n+1,z) получается явное выражение в форме ряда (5.6)

G(

,n+1,z)= [ ]+

+

,

n=0,1,2,… ,

0,-1,-2,… ,

Здесь

- логарифмическая производная Г-функция, и для случая n=0 пустая сумма принимается равной 0.

Если

=-m (m=0,1,2,…), то предельный переход n+1 (n=0,1,2…) в формуле (5.3) приводит к выражению

G(-m,n+1,z)=

F(-m,n+1,z), (5.7)

m=0,1,2,… , n=0,1,2,…

Из (5.3) непосредственно следует, что вырожденная гипергеометрическая функция второго рода удовлетворяет функциональному соотношению

G(

, ,z)= G( - +1,2- ,z), (5.8)

На основании этой формулы можно определить функцию G(

, ,z) при , равному нулю или целому отрицательному числу, при помощи равенства

G(

,1-n,z)= G( , ,z)= zⁿG( +n,n+1,z) (5.9)

n=1,2,… ,

Таким образом, функция имеет смысл при любых значениях ее параметров. Из донного определения вытекает, что G(

, ,z) регулярная функция от z в плоскости с разрезом (- ,0) и целая функция и .

Покажем, что функция G(

, ,z) является решением дифференциального уравнения (5.1).

При

0, 1, 2,… доказательство следует непосредственно из (5.3). Для целых требуемый результат может быть обоснован путем применения принципа аналитического продолжения.

Если

0, 1, 2,… интегралы F( , ,z) и G( , ,z) линейно независимы между собой, в чем легко убедиться, составив вронскиан этой пары решений.

Из (5.1) следует W{F,G}=C

e^z. Сравнивая обе части этого равенства при z 0, находим C= .

W{ F(

, ,z),G( , ,z)}= - e^z.(5.10)