Смекни!
smekni.com

Гипергеометрическое уравнение (стр. 13 из 13)

0, -1, -2,…,

Общий интеграл уравнения (7.1) в этом случае может быть представлен в форме

u = AF(

,
,z)+BG(
,
,z),(5.11)

,
0, -1, -2,…,

Функция G(

,
,z) обладает рядом свойств, аналогичных свойствам функции F(
,
,z). Так, например, имеют место формулы дифференцирования:

G(
,
,z)= -
G(
+1,
+1,z)

G(
,
,z)= (-1)m
G(
+m,
+m,z)(5.12)

m=1,2,...

рекуррентные соотношения:

G-

G(
+1)-G(
-1)=0, (5.13)

(

-
)G+G(
-1) -zG(
+1)=0, (5.14)

(

-1+z)G - G(
-1)+(
-
+1)G(
-1)=0, (5.15)

(

+z)G+
(
-
-1)G(
+1)-zG(
+1)=0, (5.16)

G(

-1)+(2
-
+z)G +
(
-
+1)G(
+1)=0, (5.17)

(

-
-1)G(
-1)- (
-1+z)G + zG(
+1)=0, (5.18)

G

G(
,
,z), G(
1)
G(
1,
,z), G(
1)
G(
,
1,z)

и так далее.

Справедливость этих формул вытекает из определения функции G и соответствующих свойств функции F.


5. Представление различных функций через вырожденные гипергеометрические функции

Как уже отмечалось, многие элементарные и специальные функции, встречающиеся в анализе, могут быть вырождены через функцию F(

,
,z).

Мы имеем, например,

1) F(

,
,z)=
=

так как

2) F(1,2,z)=

=
,

так как

3) F(-2,1,z)=

и так далее.


Литература

1. Балк М.Б. Математический анализ: теория аналитических функций.

2. Гурвиц А.И., Курант. Теория функций.

3. Евграфов Н.А. Аналитические функции.

4. Лебедев И.И. Специальные функции и их приложения.

5. Маркушевич. Введение в теорию аналитических функций.

6. Смирнов В.И. Курс высшей математики том 3,4.

7. Уиттекер, Ватсон. Курс современного анализа том 1,2

8. Фихтенгольд. Курс дифференциального и интегрального исчисления.

9. Фильчаков. Справочник по высшей математике.