Гипергеометрическое уравнение (стр. 2 из 13)

F(

, , ,z)= (1.4)

R(

)>R( ) >0 и <1

Покажем, что интеграл в правой части последнего равенства сохраняет смысл и представляет регулярную функцию комплексного переменного zв плоскости с разрезом (1,

).

Для zпринадлежащих области

, (R– произвольно большое, и произвольно малые положительные числа), и 0 < t< 1 подынтегральное выражение есть регулярная функция zи непрерывная функция t ; поэтомудостаточно показать что интеграл сходится равномерно в рассматриваемой области. Доказательство следует из оценки

(М – верхняя граница модуля функции (1-tz)^-a, непрерывной в замкнутой области

, , 0 t 1), которая показывает, сходимость интеграла будет мажорированной, то есть при R( )>R( ) >0 интеграл сходится.

Таким образом, условие

<1 в (1.4) может быть отброшено, и искомое аналитическое продолжение гипергеометрической функции в разрезанную плоскость дается формулой

F(

, , ,z)= (1.5)

R(

)>R( ) >0;

В общем случае, когда параметры имеют произвольные значения, аналитическое продолжение F(

, , ,z) плоскость с размером (1, ) может быть получено в форме контурного интеграла, к которому приводит суммирование ряда (1.1) с помощью теории вычетов.

Более элементарный метод продолжения, не дающий, однако, возможность получить в явной форме общее аналитическое выражение гипергеометрической функции, заключается в использовании рекуррентного соотношения (1.6)

F( , , ,z)= +

справедливость которого может быть установлена подстановкой в него ряда (1.1). После подстановки и приведения подобных членов коэффициент при z^kв правой части (1.6) будет

+ - = = { - - }= = (

Путем повторного применения этого тождества можно представить функцию F(

, , ,z) с произвольными параметрами ( 0,-1,-2,…) в виде суммы

F(

, , ,z)= F( +s, +p, +2p, z) (1.7)

где р – целое положительное число

( , , ,z) – полином относительно z. Если выбрать число р достаточно большим, так, чтобы R( )>-p и R( - )>-p, то аналитическое продолжение каждой из функций F( +s, +p, +2p, z) может быть выполнено по формуле (1.5). Подставляя полученные выражения в (1.7) получим функцию, регулярную в плоскости с разрезом (1, ), которая при <1 совпадает с суммой гипергеометрического ряда (1.1) и, следовательно, является искомым аналитическим продолжением.

Гипергеометрическая функция F(

, , ,z) играет важную роль в анализе и его приложениях. Введение этой функции дает возможность получить решение многих интересных проблем теоретического и прикладного характера, к которым, в частности, относится задача конформного отображения треугольника, ограниченного пересекающимися прямыми или дугами окружностей, различные задачи квантовой механики и так далее.

Большое число специальных функций может быть выражено через функцию F(

, , ,z), что позволяет рассматривать теорию этих функций как соответствующие специальные случаи общей теории, данной в настоящем пункте.

1.2 Элементарные свойства гипергеометрической функции

В настоящем разделе мы рассмотрим некоторые свойства гипергеометрической функции, которые непосредственно вытекают из ее определения с помощью ряда (1.1).

1. Принимая во внимание, что члены ряда не изменяются при перестановке параметров

и имеем соотношение симметрии