Гипергеометрическое уравнение (стр. 3 из 13)
F(
, 
, 
,z)= F( , , ,z), (2.1)2. Дифференцируя рассматриваемый ряд почленно, находим
F( , , ,z)= 
= 
==
= 
F( +1, +1, +1,z)Таким образом,
F( , , ,z)= F( +1, +1, +1,z)(2.2)3. Повторное применение этой формулы приводит к равенствам
F( , , ,z)= 
F( +m, +m, +m,z)(2.3)m=1,2,…
Положим в дальнейшем для сокращения записи
F(
, , ,z)= F,F(
1, , ,z)= F( 1),F(
, 1, ,z)= F( 1),F(
, , 1,z)= F( 1).Функции F(
1), F( 1), F( 1) называются смежными с F.4. Мы покажем, что F и любые две смежные функции связаны между собой рекуррентным соотношением с коэффициентами, являющимися линейными функциями переменного z.В качестве основных соотношений этого типа могут быть выбраны равенства (2.4), (2.5), (2.6) соответственно.
(
- 
- )F+ (1-z)F( +1)-( - )F( -1)=0,(
- -1)F+ F( +1)-( - 1)F( -1)=0, (1-z)F- F( -1)+( - )F( +1)=0.Подставляя ряд (1.1) в (2.4) имеем (2.4)
(
- - )F+ (1-z)F( +1)-( - )F( -1)==(
- - ) 
+ (1-z) 
-( - ) 
==
{( - - ) 
+ 
-( - ) 
- 
}zk==
{( - - )( +k-1)+( +k)( +k-1)-( - )( -1)- ----