Гипергеометрическое уравнение (стр. 6 из 13)

=

{( - ) -( - ) +( - ) -( -

) } z^k=

=

{( - )( +k-1)( +k-1)-( - )( +k-1)k+( - )( -1)( +k-1)-

(

- )( +k-1)( -1)}z^k=0.

Кроме распространенных рекуррентных соотношений существуют аналогичные соотношения, связывающие гипергеометрическую функцию вида F(

, , ,z) с какой – либо парой родственных функций вида F( +1, +m, +n,z), где l,m,n – произвольные целые числа.

Простейшими рекуррентными соотношениями этого типа являются

F(

, , ,z)-F( , , -1,z)= F( +1, +1, +1,z) (2.12)

F(

, +1, ,z)- F( , , ,z)= F( +1, +1, +1,z) (2.13)

F(

, +1, +1,z)- F( , , ,z)= F( +1, +1, +2,z) (2.14)

F(

-1, +1, ,z)- F( , , ,z)= F( , +1, +1,z) (2.15)

К данному классу относятся также равенство (1.6)

Формулы (2.12) и (2.15) доказываются подстановкой в них ряда (1.1) или выводятся на основе уже известных рекуррентных соотношений для смежных функций.

1.3 Гипергеометрическое уравнение

Заметим, что гипергеометрическая функция u= F(

, , ,z) является интегралом линейного дифференциального уравнения

z(1-z)

+[ -( + +1)] - u=0 (2.16)

регулярным в окрестности точки z=0.

Уравнение (2.16) называется гипергеометрическим и включает, как частные случаи, многие дифференциальные уравнения, встречающихся в приложениях.

Если привести это уравнение к стандартной форме, разделив его на коэффициент при второй производной, то коэффициенты полученного уравнения будут регулярными функциями переменного z в области 0<

<1 <1, имеющимися при z=0 полюс первого порядка или обыкновенную точку, в зависимости от значений параметров , , .

Из общей теории линейных дифференциальных уравнений следует, что в таком случае рассматриваемое уравнение должно иметь частное решение вида

u=z^s

z^k(2.17)

где s – надлежащее выбранное число,

0, степенной ряд сходится при <1

u=

z^k+s