Гипергеометрическое уравнение (стр. 8 из 13)

<1,

3) Если

не является целым числом ( 0, 1, 2,…), то оба решения (2.18-2.19) существуют одновременно и линейно независимы между собой, так, что общее решение уравнения (2.17) может быть представлено в форме

u=AF(

, , ,z)+B F(1- + ,1- + ,2- ,z), (2.20)

где А и В произвольные постоянные

<1,

2. Представление различных функций через гипергеометрическую

Гипергеометрическая функция F(

, , ,z) приводится к полиному, когда =0,-1,-2,… или =0,-1,-2. Например,

F(

, 0, ,z)= z^k= =1,

так как

=0(0+1)(0+2)…..(0+k-1)=0.

F(

, -2, ,z)= z^k= z⁰+ z+ z² =

=1-2

z+ z²,

так как

=1, =-2,

=(-2)(-1)=2, =(-2)(-1)0=0, =(-2)(-1)01=0

и так далее.

Преобразование

F(

, , ,z)=(1-z F( - , - , ,z)

- =0 =

показывает, что гипергеометрическая функция при

- =0,-1,-2,… или - =0,-1,-2,… выражается через алгебраические функции. В частности,

F(

, , ,z)= (1-z , (3.1)

Придавая параметрам

, специальные значения, находим

(1-z)^v= F(-v, 1, 1,z)

(1-z

= F( , 1, 1,z)(3.2)

(1-z)ⁿ= F(-n,

, ,z)

n=0,1,2,…

Чтобы получить представление логарифмической функции, воспользуемся разложением

ln(1-z)= -

=-z <1

откуда следует

ln(1-z)=-zF(1,1,2,z)

. (3.3)

Аналогичным образом выводятся формулы для обратных круговых функций:

arctgz=zF(

,1, ,-z²) (3.4)

arcsinz=zF(

, , ,z²)

arctg z=

(-1)^k =z =z =

=z

=z =z =zF( ,1, ,-

z²),

таккак

=1*2*…*k=k!

arcsin z=z+

=z[1+ ]=

=z[1+

]=z[1+ ]=z[1+ ] =