Якщо у довільну точку

поверхні

після обходу довільного замкненого контуру, розміщеного на поверхні

, який не перетинає її межу, ми повертаємося з початковим напрямом нормалі

, то поверхню називають двосторонньою.
Якщо при обході деякого контуру напрям нормалі змінюється на протилежний, то поверхню називають односторонньою.
Прикладами двосторонніх поверхонь є площина, сфера, довільна замкнена поверхня без самоперетинів, довільна поверхня, задана рівнянням

, де

– функції, неперервні в деякій області

площини

.
Прикладом односторонньої поверхні є так званий лист Мебіуса (рис. 3).

Рисунок 3 – Лист Мебіуса
Модель цієї поверхні можна отримати, якщо прямокутну полоску паперу

, перекрутивши один раз, склеїти так, щоб точка

збігалася з

, а точка

– з

.
Двосторонню поверхню називаютьорієнтовною, а вибір певної її сторониорієнтацією поверхні. Направивши в кожній точці замкненої поверхні нормаль всередину об'єму, обмеженого поверхнею, отримаємо внутрішню сторону поверхні, а направивши нормаль зовні поверхні-зовнішню її сторону. Надалі розглядатимемо двосторонні поверхні. Односторонні поверхні неорієнтовні.
Нехай

– орієнтовна (сторона уже обрана) поверхня, обмежена контуром

, який не має точок самоперетину. Вважатимемо за додатний той напрям обходу контуру

, при якому спостерігач, розміщений так, що напрям нормалі збігається з напрямом від ніг до голови при русі, залишає поверхню зліва від себе (рис. 4).

Рисунок 4 – Орієнтовна поверхня

Протилежний напрям обходу називається від'ємним. Якщо змінити орієнтацію поверхні на протилежну, то додатний і від'ємний напрями обходу контуру

поміняються місцями.
З'ясуємо тепер поняття поверхневого інтеграла другого роду.
Нехай

– гладка поверхня, задана рівнянням

і

– обмежена функція, визначена в точках поверхні

. Зорієнтуємо поверхню

. Розіб'ємо її довільно на

частин. Позначимо через

проекцію

-ї частини поверхні

на площину

, а через

– площу

, взяту із знаком плюс, якщо обрана зовнішня сторона поверхні

, та із знаком мінус, якщо обрана внутрішня сторона поверхні

. Виберемо в кожній частині

довільну точку

і складемо суму

.(6)
Вираз (6) називається інтегральною сумою. Нехай

– максимальний діаметр поверхонь

.
Якщо при

інтегральні суми (6) мають скінченну границю, яка не залежить ні від способу розбиття поверхні

, ні від вибору точок

, то цю границю називають поверхневим інтегралом другого роду і позначають так:

. Отже, за означенням

.(7)
З означення поверхневого інтеграла другого роду випливає, що при зміні сторони поверхні на протилежну інтеграл змінює знак, бо змінює знак

.
Поверхню

можна також проектувати на координатні площини

та

. Тоді матимемо ще два поверхневі інтеграли

, де

– функції, визначені в точках поверхні

.
Оскільки

(рис. 5),

Рисунок 5 – Проекція поверхні

на координатну площину

де

– елемент площі поверхні

– кути між нормаллю до поверхні

та осями

відповідно, то справедливі такі формули:

На практиці найпоширенішими є поверхневі інтеграли, які об'єднують усі названі, тобто

.(8)
Якщо, наприклад, вектор

є швидкістю рідини, то кількість

рідини, яка протікає через поверхню

за одиницю часу, називається потоком вектора

через поверхню

і знаходиться за формулою: