Поверхневі інтеграли (стр. 3 из 4)

.

У цьому полягає фізичний зміст поверхневого інтеграла другого роду. Зрозуміло, коли вектор

має іншу природу, поверхневий інтеграл має інший фізичний зміст.

Формула (8) виражає загальний поверхневий інтеграл другого роду через поверхневий інтеграл першого роду.

Поверхневі інтеграли другого роду обчислюються за допомогою подвійних інтегралів.

Нехай функція

неперервна в усіх точках гладкої поверхні , яка задана рівнянням , де область – проекція поверхні на площину . Виберемо верхню сторону поверхні , де нормаль до поверхні утворює з віссю гострий кут, тоді . Оскільки , то суму (6) можна записати у вигляді

. (9)

У правій частині рівності (9) міститься інтегральна сума для функції

. Ця функція неперервна в області , тому інтегрована в ній.

Перейшовши в рівності (9) до границі при

, отримаємо формулу

,

яка виражає поверхневий інтеграл другого роду по змінних

і через подвійний. Якщо вибрати нижню сторону поверхні (нормаль до поверхні утворює з віссю тупий кут), то одержаний подвійний інтеграл беруть із знаком «мінус», тому

.(10)

Аналогічно

;(11)

.(12)

У формулі (11) гладку поверхню

задано рівнянням , а у формулі (12) – рівнянням . Знак «плюс» беремо у цих формулах тоді, коли нормаль до поверхні утворює відповідно з віссю , з віссю гострий кут, а знак «мінус» – коли тупий кут; , – проекції поверхні на площини та відповідно.

Для обчислення загального інтеграла (8) використовують формули (10) – (12), проектуючи поверхню

на всі три координатні площини. Таким чином,

Правильність вибору знаків перед подвійними інтегралами можна перевірити за допомогою формули

,

яка визначає одиничний нормальний вектор до поверхні

. Подвійний знак у цій формулі відповідає двом сторонам поверхні . З формули (8) випливає, що знак перед подвійним інтегралом збігається із знаком відповідного напрямного косинуса нормалі :

.

Якщо поверхня

неоднозначно проектується на будь-яку координатну площину, то цю поверхню розбивають на частини, а інтеграл (8) – на суму інтегралів по одержаних частинах поверхні .

3. Формула Остроградського-Гаусса

Формула Остроградського-Гаусса встановлює зв'язок між поверхневим інтегралом по замкненій поверхні і потрійним інтегралом по просторовій області, обмеженій цією поверхнею. Ця формула є аналогом формули Гріна, яка, як відомо, встановлює зв'язок криволінійного інтеграла по замкненому контуру з подвійним інтегралом по плоскій області, обмеженій цим контуром.

Нехай замкнена область

обмежена замкненою поверхнею , причому знизу та зверху обмежена гладкими поверхнями та , рівняння яких та (рис. 7).

Рисунок 7 – Замкнена область

Припустимо, що проекцією області

на площину є область . Нехай в області визначено неперервну функцію , яка в цій області має неперервну похідну .

Розглянемо потрійний інтеграл

.

У правій частині цієї рівності перший подвійний інтеграл запишемо за допомогою поверхневого інтеграла по зовнішній стороні поверхні

, а другий подвійний інтеграл – по зовнішній стороні поверхні . Враховуючи кути між нормаллю та віссю , отримуємо

.(13)

Аналогічно, припустивши, що функції

, неперервні в області , можна отримати формули

,(14)

.(15)

Додавши почленно рівності (13), (14) і (15), отримаємо формулу

,(16)

яку називають формулою Остроградського-Гаусса. Ця формула справедлива і для довільної області

, яку можна розбити на скінченне число областей, для яких виконуються рівності (13) – (15).

За допомогою формули Остроградського-Гаусса зручно обчислювати поверхневі інтеграли по замкнених поверхнях.

4. Формула Стокса

Формула Стокса встановлює зв'язок між поверхневим і криволінійним інтегралами. Нехай

– поверхня, задана рівнянням , причому функції – неперервні в області – проекції поверхні на площину ; – контур, який обмежує , а – проекція контуру на площину , тобто – межа області .