Поверхневі інтеграли (стр. 1 из 4)

ПОВЕРХНЕВІ ІНТЕГРАЛИ

1. Поверхневі інтеграли першого роду

Поверхневі інтеграли першого роду є узагальненням подвійних інтегралів.

Нехай у точках деякої кусково-гладкої поверхні

визначена обмежена функція . (Поверхня називається гладкою, якщо в кожній її точці існує дотична площина і при переході від точки до точки положення цієї дотичної площини змінюється неперервно. Поверхня, яка складається із скінченного числа неперервно з’єднаних гладких поверхонь, називається кусково-гладкою.) Розіб'ємо поверхню на довільних частин без спільних внутрішніх точок (рис. 1); нехай – площа, а – діаметр частини поверхні . У кожній частині виберемо довільну точку і складемо суму

.(1)

Рисунок 1– Поверхня

Цю суму називають інтегральною сумою для функції

по поверхні .

Якщо при

інтегральні суми (1) мають скінченну межу, яка не залежить ні від способу розбиття поверхні , ні від вибору точок , цю границю називають поверхневим інтегралом першого роду від функції по поверхні і позначають .

Таким чином, за означенням

.(2)

У цьому разі функція

називається інтегровною по поверхні , а поверхня –областю інтегрування.

Якщо функція

неперервна на поверхні , то вона інтегровна по .

Обчислення поверхневого інтеграла першого роду зводиться до обчислення подвійного інтеграла.

Нехай гладка поверхня

, задана рівнянням , проектується на площину в область . Припустимо, що функція неперервна на поверхні , а функції неперервні в області .

Внаслідок розбиття поверхні

на частини область розіб'ється на частини , які є відповідними проекціями частин на площину (рис. 2).

Рисунок 2 – Розбиття поверхні

на частини

Якщо

– площа області , – площа поверхні , то

,

тому інтегральну суму (1) можна записати у вигляді

.(3)

Права частина цієї рівності є інтегральною сумою для функції

,

тому з рівностей (2) і (3) випливає, що

.(4)

Формула (4) виражає поверхневий інтеграл першого роду через подвійний інтеграл по проекції поверхні

на площину .

Аналогічно можна отримати формули, що виражають інтеграл по поверхні

через подвійні інтеграли по її проекціях на площини та . Якщо поверхня задається рівнянням або , то

,

де

та – проекції поверхні на координатні площини та відповідно.

Якщо у формулі (2) покласти

на поверхні , то отримаємо

,(5)

де

– площа поверхні , тобто за допомогою поверхневого інтеграла першого роду можна обчислювати площі поверхонь.

Крім того, поверхневі інтеграли першого роду застосовують при обчисленні маси, координат центра маси, моменту інерції матеріальної поверхні з відомою поверхневою густиною розподілу маси. Виведення відповідних формул по суті не відрізняється від виводу аналогічних формул для матеріальної пластинки.

Якщо на кусково-гладкій поверхні

розподілено масу з поверхневою густиною , то:

а) маса матеріальної поверхні

;

б) координати центра маси поверхні:

,

де

– статичні моменти поверхні відносно осей ;

в) моменти інерції поверхні відносно осей координат і початку координат:

2. Поверхневі інтеграли другого роду

Введемо поняття сторони поверхні. Візьмемо на гладкій поверхні

довільну точку , проведемо в ній нормаль певного напряму і розглянемо на поверхні довільний замкнений контур, який виходить з точки і повертається в точку , не перетинаючи при цьому межі поверхні . Переміщатимемо точку по замкненому контуру разом з вектором так, щоб вектор весь час залишався нормальним до . При обході заданого контуру ми можемо повернутися в точку з тим самим або з протилежним напрямом нормалі.