Постараємось тепер необхідною підстановкою знищити в обох трьохчленах відразу члени першої степені.
Якщо р=р’, то наша ціль досягається простою підстановкою
. Нехай тепер ; в цьому випадку ми скористаємось дробно-лінійною підстановкоюМожливість встановити дійсні і при чому різні значення для коефіцієнтів μ і ν зумовлена нерівністю
(6)Нехай же тепер трьохчлени (5) обидва мають дійсні корені, скажемо, перший – корені α і β, а другий корені γ і δ. Підставляючи
можна переписати (6) у вигляді
(6ґ)а для здійснення цієї нерівності достатньо лише потурбуватися, щоб корені трьохчленів не перемежались (наприклад, щоб було α > β > γ > δ ), що в наших можливостях.
Таким чином, належно вибравши μ і ν, за допомогою вказаної підстановки ми отримаємо
що можна також (якщо виключити випадки, коли який-небудь з коефіцієнтів M, N, M’, N’ виявляються нулем) переписати у виді
при А, m іm’ відмінних від нуля.
Цей інтеграл можна звести, з точністю до інтеграла від раціональної функції, до такого
Розкладемо тепер раціональну функцію R*(t) на два доданки
Перший доданок не міняє свого значення при заміні tна –t, значить, зводиться до раціональної функції від
: ; другий же при вказаній заміні міняє знак, і тому має вид Розглянутий інтеграл представиться в формі суми інтегралівАле другий із них підстановкою
відразу зводиться до елементарного інтегралуі береться в кінцевому виді. Таким чином, подальшому дослідженню підлягає тільки інтеграл
(7)3. Приведення до канонічної форми
Покажемо, нарешті, що кожен інтеграл типу (7) може бути представленим у формі
(8)де k – деякий додатній правильний дріб: 0<k<1. Назвемо цю форму канонічною.
Введемо скорочено
Не зменшуючи загальності, дозволяється вважати тут А = ± 1; крім того, для визначеності обмежимося додатніми значеннями t. Розглянемо тепер різні можливі комбінації знаків A, m, m’ і вкажемо для кожного випадку підстановку, що безпосередньо приводить інтеграл (7) в канонічну форму.
1) А = +1,
( ). Для того, щоб радикал мав дійсні значення, необхідно, щоб було або Припускаємо, що де 0<z<1 абоТоді
так, що за kтут треба прийняти
2) А = +1,
(h, h’>0). Для того, щоб радикал мав дійсні значення, обмежимося значеннями .Припускаємо, що
де 0 < z ≤ 1.Тоді
і можна взяти
3) А = +1,
(h>h’>0). Зміна tнічим не обмежена. Припустимо де 0≤z<1.В цьому випадку
і
4) А = -1,
(h, h’>0).Зміна tобмежена нерівністю . Беремо , де 0<z<1 ,так, що
і
.5) А = -1,
(h>h’>0). Змінна t може змінюватися лише між і . Припустимо , де 0<z<1.Маємо
і
Цим вичерпуються всі можливі випадки, тому що у випадку, коли А = -1 і обидва числа m, m’ > 0, радикал взагалі не міг би мати дійсних значень. Про множник ми не говорили нічого, тому що у всіх випадках він, очевидно, перетворювався у раціональну функцію від .Відмітимо ще, що розглядаючи інтеграл (8), ми можемо обмежуватися значеннями z<1; випадок
приводиться до цього підстановкою , де <1.4. Еліптичні інтеграли 1-го, 2-го і 3-го роду
Тепер залишається вивчити найпростіші з інтегралів виду (8), до яких можна було б звести всі інтеграли цього виду, а відповідно, в кінцевому рахунку, і взагалі, всі еліптичні інтеграли.
Виділимо з раціональної функції R(x), що зустрічається в підінтегральному виразі (8) цілу частину P(x), а правильний дріб, який входить до його складу, розкладемо на прості дроби. Якщо не об’єднувати спряжені комплексні корені знаменника, а розглядати їх окремо, як дійсні корені, то R(x) представиться у вигляді суми степенів
(n = 0, 1, 2,…) і дробів виду (m = 1, 2, 3,…), де а може бути і уявним числом, помножених на числові коефіцієнти. Звідси ясно, що інтеграл (8), в загальному випадку, являється лінійним агрегатом наступних інтегралів: (n = 0, 1, 2,…)і
(m = 1, 2, 3,…).Зупинимося на інтегралах
. Якщо проінтегрувати тотожністьто отримаємо рекурентне співвідношення
(9)що зв’язують три послідовні інтеграли І. Припускаючи що тут n=2, виразимо
через та ; якщо взяти n=3 і замість підставити його вираз через та , то навіть виразиться через ці інтеграли. Продовжуючи так далі, легко переконатися, що кожен з інтегралів виражається через та і далі враховуючи (9), можна встановити і вигляд з’єднуючої їх формули